Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
Chứng minh rằng với n ∈ N*
a) n3+ 3n2+ 5n chia hết cho 3.
b) 4n+ 15n – 1 chia hết cho 9
c) n3+ 11n chia hết cho 6.
Lời giải
Hướng dẫn
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n = k + 1.
Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈N*.
a) Cách 1: Quy nạp
Đặt An = n3 + 3n2 + 5n
+ Ta có: với n = 1
A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3
+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3
Thật vậy, ta có:
Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9
Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3
Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3
⇒ Ak + 1 ⋮ 3.
Cách 2: Chứng minh trực tiếp.
Có: n3 + 3n2 + 5n
= n.(n2 + 3n + 5)
= n.(n2 + 3n + 2 + 3)
= n.(n2 + 3n + 2) + 3n
= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.
Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
3n ⋮ 3
⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.
Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*
b) 4n+ 15n – 1 chia hết cho 9
Đặt An = 4n + 15n – 1
với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9
+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9
Thật vậy, ta có:
Ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1
= 4.4k + 15k + 15 – 1
= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15)
= Ak + 3(4k + 5)
Theo giả thiết quy nạp: Ak ⋮ 9.
Lại có : 4k + 5 = (3 + 1)k + 5 ≡ 1 + 5 ≡ 0 (mod 3)
⇒ 4k + 5 ⋮ 3.
⇒ 3.(4k + 5) ⋮ 9
⇒ Ak + 1 = Ak + 3.(4k + 5) ⋮ 9.
Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*
c) Cách 1: Chứng minh quy nạp.
Đặt Un = n3 + 11n
+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6
+ Giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:
Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6
Thật vậy ta có:
Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k +1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11
= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12
= Uk + 3(k2 + k + 4)
Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)
3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)
⇒ Uk + 1 ⋮ 6.
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.
Cách 2: Chứng minh trực tiếp.
Có: n3 + 11n
= n3 – n + 12n
= n(n2 – 1) + 12n
= n(n – 1)(n + 1) + 12n.
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3
⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.
Lại có: 12n ⋮ 6
⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.
Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học