Bài 3 trang 82 SGK Đại số 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3 trang 82 SGK Đại số 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1

b) 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải

a) Chứng minh: 3ⁿ > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ giả sử (1) đúng với n = k, tức là 3k > 3k + 1.

Khi đó:

3^{k + 1} = 3.3^k

> 3.(3k + 1) = 9k + 3 = 3k + 3 + 6k = 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

b) 2n + 1> 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ giả sử (2) khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3.

Khi đó:

2^{k + 2} = 2.2^{k + 1}

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học