Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Câu hỏi: Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Trả lời

- Dấu hiệu nhận biết hình vuông là:

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

+ Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

Bạn đọc hãy cùng với Top lời giải tìm hiểu thêm về hình vuông qua bài viết dưới đây nhé!

1. Hình Vuông là gì?

Trong hình học Euclid, hình vuông là hình tứ giác đều, tức có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau (4 góc vuông). Có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau, hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

2. Tính chất của hình vuông

- Có 2 cặp cạnh song song.

- Có 4 cạnh bằng nhau.

- Hai đường chéo hình vuông bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

- Giao của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.

- Một đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.

- Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.

- Hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

- Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

4. Công thức tính chu vi và diện tích hình vuông

a. Công thức tính chu vi hình vuông

- Chu vi hình vuông ta được tính theo công thức lấy cạnh nhân 4 hay nói cách khác chu vi hình vuông bằng tổng độ dài bốn cạnh cộng lại với nhau.

- Ta có công thức tính chu vi hình vuông như sau:

P = a x 4

- Trong đó:

+ P là chu vi hình vuông

+ a là độ dài một cạnh của hình vuông

b. Công thức tính diện tích hình vuông

- Diện tích hình vuông được hiểu là phần diện tích mặt phẳng của hình vuông mà ta có thể nhìn thấy được.

- Ta có công thức: Muốn tính diện tích hình vuông ta lấy cạnh nhân cạnh. 

- Hay ta có công thức tính diện tích hình vuông như sau:

S = a x a

- Trong đó:

+ S: diện tích của hình vuông

+ a: Cạnh hình vuông

5. Các cách chứng minh hình vuông

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, các em có thể áp dụng một trong 3 cách sau đây:

Cách 1: chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông ta thực hiện như sau:

+ Chứng minh tứ giác đó là hình thoi.

+ Chứng minh tứ giác đó có 1 góc vuông.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

=> EB = KC = PD = QA

Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:

AE = BK (gt)

A = B = 90°

QA = EB (chứng minh trên)

=> ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c)

=> EQ = EK

Chứng minh tương tự, ta có: EK = KP, KP = PQ

Suy ra: EK = KP = PQ = EQ => Tứ giác EKPQ là Hình thoi. (1)

Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE

⇒ Góc AQE = BKE

Mà Góc AQE + AEQ = 90°

=> Góc BKE + AEQ = 90°

Lại có, Góc BKE + QEK + AEQ = 180°

Suy ra: Góc QEK = 180° – Góc BKE – Góc AEQ = 180° – 90° = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EKPQ là Hình vuông ( Hình thoi có 1 góc vuông là Hình vuông). 

Cách 2: chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau ta thực hiện như sau:

+ Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.

+ Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh kề bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Theo bài ra, ta có:

ΔABC vuông cân tại A => Góc B = C = 45°

ΔBHE vuông tại H và có Góc B = 45° => ΔBHE vuông cân tại H

=> HB = HE

ΔCGF vuông tại G và có Góc C= 45° => ΔCGF vuông cân tại G

=> GC = GF

Mà BH = HG = GC (giả thiết)

=> HE = HG = GF

Lại có EH // GF (cùng vuông góc với BC) và EH = GF

=> Tứ giác HEFG là Hình bình hành ( Tứ giác có một cặp cạnh đối song song bằng nhau là Hình bình hành ).

Ngoài ra, Góc EHG = 90° nên HEFG là Hình chữ nhật, lại có EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là Hình vuông ( Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là Hình vuông ).

Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác ta thực hiện như sau:

+ Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.

+ Chứng minh tứ giác đó có đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

Xét tứ giác AMDN, ta có:

Góc MAN = 90° (giả thiết)

DM ⊥ AB (giả thiết) => Góc AMD = 90°

DN ⊥ AC (giả thiết) => Góc AND = 90°

Suy ra Tứ giác AMDN là Hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)

Lại có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy Hình chữ nhật AMDN là Hình vuông