Các bài tập về hằng đẳng thức lớp 8
Tổng hợp Các bài tập về hằng đẳng thức lớp 8 hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 8, giúp các em ôn tập tốt hơn.
Bài tập 1: Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
a) 1272 + 146.127 + 732
b) 98.28 – (184 – 1)(184 + 1)
c) 1002 – 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 12
d) (20 + 182 + 162 +…+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 +…+ 32 + 12)
Giải:
a) A = 1272 + 146.127 + 732
= 1272 + 2.73.127 + 732
= (127 + 73)2
= 2002
= 40000 .
b) B = 98.28 – (184 – 1)(184 + 1)
= 188 – (188 – 1)
= 1
c) C = 1002 – 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 12
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1
= 5050.
d) D = (202 + 182 + 162 +…+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 +…+ 32 + 12)
= (202 – 192) + (182 – 172) + (162 – 152)+ …+ (42 – 32) + (22 – 12)
= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1
= 210
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : C = x2 – 2x + 5
Giải:
Ta có: C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
Mà: (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
→ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 <=> x = 1
Nên vì vậy: Cmin = 4 khi x = 1
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức:
a, (x + y)2 + (x – y)2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
Giải:
a, (x + y)2 + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
= 2x2 + 2y2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2
= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2
Bài tập 4: So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
b) A = 1989.1991 và B = 19902
Giải:
a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b) Ta đặt 1990 = x => B = x2
Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x2 – 1
=> B > A là 1.
Bài tập 5: Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b,c thuộc R
Giải:
Xét :VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac
2(VT – VP) = 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
= (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)
= (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
Ta luôn có rằng :
(a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
(a – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,c thuộc R
(b – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị b,c thuộc R
Suy ra : (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Hay : VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Vậy : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Bài tập 6: Chứng minh rằng:
a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
Giải:
a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]
= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2
= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)
= (a2 + b2)(c2 + d2)
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
Bài tập 7: Chứng minh bất đẳng thức sau a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Giải:
Xét :VT – VP = a4 + b4 – a3b – ab3
= (a4 – a3b) + (b4– ab3)
= a3(a – b) – b3(a – b)
= (a – b) (a3– b3)
= (a – b)2 (a2+ ab + b2) = (a – b)2 [(a+b/2)2 + 3b2/4)]
Ta luôn có rằng : (a – b)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
(a+b/2)2 + 3b2/4) ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy ta có: a4 + b4 ≥ a3b + ab3
CÔNG TY TNHH TOP EDU
Số giấy chứng nhận đăng kí kinh doanh: 0109850622, cấp ngày 09/11/2021, nơi cấp Sở Kế Hoạch và Đầu tư Thành phố Hà Nội
