Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Câu hỏi: Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Trả lời:

Dấu hiệu nhận biết hình thoi là:

- Hình tứ giác đặc biệt

+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+ Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.

+ Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.

- Hình bình hành đặc biệt

+ Hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành vì nó có đầy đủ tính chất của hình bình hành và còn có một số tính chất khác:

+ Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Bạn đọc hãy cùng với Top lời giải tìm hiểu thêm về hình thoi qua bài viết dưới đây nhé!

1. Hình thoi là gì?

- Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Đây là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

2. Tính chất của hình thoi

- Trong hình thoi:

+ Các góc đối nhau bằng nhau.

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

+  Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

- Hình tứ giác đặc biệt

+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+ Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.

+ Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.

- Hình bình hành đặc biệt

+ Hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành vì nó có đầy đủ tính chất của hình bình hành và còn có một số tính chất khác:

+ Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

4. Các cách chứng minh hình thoi

Để chứng minh một tứ giác hoặc một hình bình hành là hình thoi, chúng ta sẽ dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thoi như đã nêu ở trên.

Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Xét ΔABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

⇒ EH là đường trung bình của ΔABD

⇒ EH = 1/2 BD (1)

Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF

⇒ Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau.

Cách 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.

Ta có: 

ΔABC cân tại A có trung tuyến AM

⇒ AM là đường trung trực của BC

⇒ Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.

Cách 3: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.

Lời giải:

M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE

⇒ MI là đường trung bình của ΔBDE

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD

Chứng minh tương tự, ta có:

NK // BD và NK= 1/2 BD

Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)

Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE

⇒ IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)

Từ (4) và (5) ⇒ Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD và ΔDOA là đỉnh của một hình thoi.

Lời giải chi tiết: 

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét ΔBMO và ΔDPO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)

=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)

=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)

Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)

Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)

Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)

Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.