Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông

Câu hỏi: Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông

Trả lời: 

- Trong tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chia góc đó thành 2 góc đều bằng 45^o

- Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác thông thường. Đó là: 

+ Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+ Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

+ Tam giác ΔABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng BC. Ngược lại nếu AM = BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông ở A.

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về đường phân giác trong tam giác nhé!

1. Định nghĩa đường phân giác trong tam giác

Ta có: Ot là phân giác của góc xOy 

Tương đương góc zOt = góc tOy = góc xOy/2 

- Đường thẳng chứa tia phân giác gọi là đường phân giác.

- Tia phân giác của góc trong tam giác được gọi là đường phân giác của góc đó . 

- Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau . 

Chú ý : 

- Bất kỳ góc nào cũng chỉ có duy nhất một đường phân giác

- Trong tam giác có ba đường phân giác , chúng đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

2. Tính chất đường phân giác trong tam giác

* Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

* Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại một đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng.

a. Đường phân giác trong tam giác cân

– Trong tam giác cân, đường phân giác có một số tính chất sau:

+) Đường phân giác ứng từ góc đỉnh sẽ vuông góc với cạnh đáy tương ứng  Nó là đường trung trực của cạnh đáy )

+) Đường phân giác ứng từ góc đỉnh sẽ chia cạnh đáy thành 2 đoạn thẳng bằng nhau ( Nó là đường trung tuyến của cạnh đáy ).

+) Và có đầy đủ các tính chất của đường phân giác tam giác thông thường

b. Đường phân giác trong tam giác vuông 

– Trong tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chia góc đó thành 2 góc đều bằng 45°

– Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác thông thường.

c. Đường phân giác trong tam giác vuông cân

– Trong tam giác vuông cân có hai góc ở đáy bằng nhau, bằng 45°.

– Trong tam giác vuông cân, các đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác đều trùng nhau và có chiều dài bằng một nửa cạnh huyền.

d. Đường phân giác trong tam giác đều

– Các tính chất phân giác của tam giác đều

+) Ba đường phân giác của tam giác đều có độ dài bằng nhau.

+) Mỗi đường phân giác của tam giác đều sẽ chia mỗi góc thành 2 góc có độ lớn là 30 độ

+) Trong tam giác đều ba đường phân giác đồng thời cũng là 3 đường trung trực và đường trung tuyến

+) Và có đầy đủ các tính chất của đường phân giác trong tam giác cân

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm, đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE. Tính các độ dài DB, EB.

Lời giải

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Tính độ dài AI.

Lời giải

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5 cm.

Lời giải

 

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác ABC, ta có:

với t > 0

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

BC² = AC² + AB² hay (5t)² = 92 + (4t)² ⇔ (3t)² = 92 ⇒ t = 3 (vì t > 0)

Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết AD/DC = 2/3, EA/EB = 5/6. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Lời giải

 

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

Theo giả thiết ta có: PABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm; AC = 15cm