Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón

1. Lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón . Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn 

Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón 

2. Ví dụ bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Bài 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

a)

Hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy là (O;r). Lấy điểm M trên (O;r) thì ΔSOM vuông tại O.

SO là trục của đường tròn (O;r) nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi I thuộc SO và cách đều hai điểm S,M. Vậy I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SM. Mặt cầu tâm I bán kính R=IS là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b)

Kẻ đường kính SS′ của mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS′>h)

ΔMSS′ vuông tại M có đường cao MO=r.

Ta có:

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là 

c) Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu bán kính R thì theo câu b) ta có hệ thức

Bài 2: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó

A. 4          B. 2            C. 6            D. 3

Lời giải 

Hình nón ngoại tiếp hình cầu ⇒ 

Chọn D.

Bài 3: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón (N) có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón (N) có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng bao nhiêu ?

Lời giải 

Bài 4: Cho hình nón tròn xoay (N) có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ?

Lời giải