Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất

Công thức nguyên hàm từng phần

     Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm số phức tạp như vừa chứa hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit và hàm vô tỉ, hay hàm mũ,…

     Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:

Nguyên hàm từng phần là gì?

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta làm như sau:

– Bước 1. Đặt 

 (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x))

– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.

Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u.

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Bài tập:

• Nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt

• Tương tự nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt

Một số dạng nguyên hàng từng phần thường gặp

Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt 

Dạng 2: 

trong đó P(x) là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt 

Dạng 3: I = ∫P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là đa thức

Theo quy tắc ta đặt 

Dạng 4: 

Theo quy tắc ta đặt 

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta làm như sau

Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt

Khi đó:

 Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

với f(x) là một hàm của đa thức.

Phương pháp giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở trên, ta suy ra

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Lời giải

Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy

Bước 1:  Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ A=∫f(x)eax+b dx với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ^ax+b dx=uv–∫vdu

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xe^xdx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta tiến hành đặt

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Lời giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành

Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây.

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, bạn hãy làm như sau:

Dựa theo phương pháp trên, ta đặt như sau

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Các bước giải như sau:

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

– Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv–∫vdu

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt

Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây I=∫sinx.exdx

Lời giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau:

Ta tiến hành đặt như sau

Khi đó, nguyên hàm trở thành:

Lúc này ta tính: J=∫cosx.ex.dx

Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Cụ thể là

Đặt như sau

Khi đó: