Các dạng bài tập tích phân nâng cao

I. Phương pháp đổi biến số 

1. Đổi biến dạng 1

Cho hàm số y = f[u(x)] liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]; hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định. Khi đó, ta có:

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tích phân

2. Đổi biến dạng 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân 

  thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân 

  thì nên đổi biến dạng 1.

Bài tập 1: tính các tích phân sau

Lời giải : Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1

Bài tập 2: tính các tích phân sau

Lời giải : Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2

II. Phương pháp tích phân từng phần

Bài toán : tính tích phân  

Lời giải: 

Khi đó 

  ( công thức tích phân từng phần )

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lý sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 

  dễ tính hơn 

1. Áp dụng công thức trên ta có cách tính tích phân từng phần như sau: 

- Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v'(x)dx. 

- Bước 2: Tính du = u'dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx 

- Bước 3: Tính 

> Lưu ý: Phương pháp tích phân từng phần thường được vận dụng khi hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau (đa thức - logarit, đa thức - lượng giác, lượng giác - hàm mũ,...). 

2.  Một số dạng bài tập vận dụng tích phân từng phần thường gặp 

+ Tính tích phân hàm đa thức P(x) và hàm logarit nepe (lnx): 

 Ta đặt u = lnx, dv = P(x)dx

+ Tính tích phân hàm đa thức P(x) và hàm lượng giác (sinx; cosx):

 Ta đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx) 

+ Tính tích phân hàm mũ (e ) và hàm lượng giác (sinx; cosx):

Ta đặt u = e , dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tính hai lần 

+ Tính tích phân hàm mũ (e ) và hàm đa thức P(x):

- Ta đặt u = P(x) , dv = e dx 

3. Bài tập tích phân từng phần có lời giải 

Bài tập 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần

 Lời giải