Công thức nguyên hàm nâng cao lớp 12 đầy đủ

I. Định nghĩa nguyên hàm là gì?

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập K và hàm số F sẽ được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên tập K khi F’(x) = f(x) và F(x) khả vi trên K với mọi x thuộc tập K.

Trong bộ môn giải tích thì nguyên hàm của hàm số thực cho trước f là 1 hàm F có đạo hàm bằng f, tức là F’ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định, việc tìm 1 biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó khăn hơn so với việc tìm đạo hàm và không phải luôn luôn thực hiện được.

1. Định lý của nguyên hàm

• Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập K thì mọi nguyên hàm của hàm số trên F(x) nằm trên tập K sẽ đều có dạng F(x) + C với C là hằng số.
• Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên tập K.

2. Các tính chất của nguyên hàm

Nếu g(x) và f(x) là 2 hàm số liên tục trên tập K thì:

   • (∫ f(x)dx)’ = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.

    • Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).

    • ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.

    • ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

    Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

II. Nguyên hàm của hàm mũ

Có 2 bảng ứng với hàm mũ. Bạn cần nhớ chính xác mỗi công thức mẫu bên dưới

1. Bảng nguyên hàm hàm số mũ

2. Bảng 5 nguyên hàm e mũ

III. Các công thức nguyên hàm lượng giác

Bảng 12 nguyên hàm lượng giác mẫu được nhiều thầy cô quan tâm bởi số lần nó xuất hiện trong đề thi thử cũng như đề thi chính thức của bộ giáo dục. Nó tương đối đơn giản để bạn học thuộc

4. Bảng 26 công thức nguyên hàm nâng cao

Khi bạn bắt gặp những nguyên hàm rắc rối nhiều ẩn nếu bạn sử dụng những biến đổi dựa trên công thức cơ bản, đôi khi là mất thời gian thậm chí không ra kết quả. Biến đổi vậy không phải là một hướng thông minh trong phòng thi, trong khi đó bạn có một cách tiếp cận thông minh hơn đó là sử dụng bảng 26 công thức nguyên hàm nâng cao dưới đây để giải.

Công thức nguyên hàm nâng cao

Những điểm sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm

Đa số khi giải dạng đề này các bạn thường mắc phải các sai lầm như:

– Hiểu sai bản chất công thức

– Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm

– Không nắm vững định nghĩa về nguyên hàm, tích phân

– Đổi biến số nhưng quên đổi cận

– Đổi biến không tính vi phân

– Không nắm vững phương pháp nguyên hàm từng phần

Dưới đây sẽ là một số lỗi sai cụ thể mà người giải đề thường xuyên gặp phải khi giải các đề toán liên quan đến bảng nguyên hàm. Các bạn hãy cùng theo dõi để tránh mắc phải tương tự nhé!

• Nhớ nhầm công thức của nguyên hàm

Nguyên nhân: nền tảng của nguyên hàm là đạo hàm. Tức là muốn giải được nguyên hàm trước tiên bạn cần học hoặc tìm hiểu về đạo hàm trước đã. Và cũng vì thế mà khi chưa hiểu rõ được bản chất của hai định nghĩa này bạn có thể dễ bị nhầm lẫn giữa cả hai, nhầm công thức này qua công thức kia.

Khắc phục: học vững bảng nguyên hàm cơ bản, luyện tập thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng số đề cho hay không.

• Không vận dụng đúng định nghĩa tích phân

Khắc phục: đọc và nắm kỹ định nghĩa tích phân. Tạo thói quen khi tính ∫f(x)dx nhớ chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn hay không. Lưu ý đặc biệt, nếu hàm số không liên tục trên đoạn thì nghĩa là tích phân đó không tồn tại!

• Nhớ nhầm tính chất tích phân nguyên hàm

Nguyên nhân: thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần thì có nhiều bạn thường tự sáng tạo ra quy tắc nguyên hàm của một tích. Lỗi sai này rất nghiêm trọng nhưng cũng rất phổ biến.

Khắc phục: một lần nữa đọc lại và nắm vững tính chất của nguyên hàm và tích phân

• Vận dụng sai công thức nguyên hàm

Nguyên nhân: vì dạng đề và công thức bảng nguyên hàm rất nhiều nên nhiều trường hợp các bạn áp dụng sai công thức, hoặc nhớ nhầm từ công thức này sang công thức kia

Khắc phục: cẩn thận và tỉ mỉ là một yếu tố cực kỳ cần thiết dành cho môn toán, tại vì nhiều khi chỉ cần sai một con số nhỏ hoặc một công thức nhỏ trong bảng nguyên hàm nói riêng cũng như trong bài toán nói chung thì mọi kết quả sẽ trở nên công cốc.