Cách xác định hàm số đồng biến trên R

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một dạng toán quan trọng trong đề thi THPT các năm. Top lời giải hướng dẫn chi tiết nhất cách giải dạng toán đồng biến, nghịch biến trên R qua bài viết sau:

1. Định lí về tính đồng biến nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:

Đối với hàm số đa thức bậc 1:

– Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0

– Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0

Đối với hàm số đa thức bậc 3:

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y = ax³ + bx² + cx + d ⇒ y’ = 3ax² + 2bx + c

– TH1: a = 0 (nếu có tham số)

– TH2: a ≠ 0

Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = x³ + 2(m-1)x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Lời giải: 

Để y = x³ + 2(m-1)x² + 3x - 2  đồng biến trên R thì (m-1)² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4.

Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = mx³ -mx² - (m + 4 )x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Lời giải: 

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m(m+4) ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m <0.

Kết hợp 2 trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2. Phân dạng bài tập tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

+) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

+) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f’(x)

+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Với mọi x₁ > x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

B. Với mọi x₁, x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) > f (x₂)

C. Với mọi x₁, x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

D. Với mọi x₁ < x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có: f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ.

⇒ x₁ < x₂ ∊ ℝ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = -2x³ + 3x² – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có: f’(x) = -6x² + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.

0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m

Kiến thức chung

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b).

 

 

 

 

 

. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

 

 

 

 

 

 

 

Chú ý: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d

+) Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho |x₁ – x₂| = k

+) Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂  sao cho |x₁ – x₂| = k

Ví dụ 1. Hàm số y = x³ – 3x² + (m – 2) x + 1  luôn đồng biến khi:

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có: y’ = 3x² – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x² – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

Ví dụ 2. Hàm số y = ⅓x³ – mx² – (3m + 2) x + 1 đồng biến trên ℝ khi m bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C

Ta có: y’ = x² – 2mx – 3m + 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = x² – 2mx – 3m + 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ m² + 3m + 2 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ -1

Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = x⁴ – 2x² + 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞).

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1)

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x⁴ + x² – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

Bảng biến thiên:

Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = ¼x⁴ + 2x² – 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = x³ + 4x = x (x² + 4)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 (do x² + 4 = 0 vô nghiệm)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)