Công thức khai triển maclaurin cơ bản

Hướng dẫn tìm hiểu Công thức khai triển maclaurin cơ bản hay nhất, chi tiết, giúp các em ôn tập tốt và làm bài đạt kết quả cao.

1. Công thức khai triển maclaurin cơ bản

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.

Hãy xác định một đa thức y = P_n(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:

Các hệ số C₀, C₁, C₂,…C_n được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P_n(x):

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có: 

So sánh với điều kiện (1) ta có:

Thay các giá trị của C₀, C₁, C₂,…C_n  vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:

Ký hiệu bằng R_n(x), hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập P_n(x) (hình vẽ): R_n(x) = f(x) - P_n(x)

Hay: 

(6)

R_n(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư R_n(x) bé, thì khi đó đa thức P_n(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức P_n(x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R_n(x)

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư R_n(x) khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng:

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.

Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :  

Tìm đạo hàm F’(t) : 

Rút gọn lại ta được : 

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = ξ nằm giữa a và x sao cho F'(ξ) = 0

Thế vào (9) ta có : 

Suy ra : Q = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

– số hạng dư Larange

Vì  ξ là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: 

Nghĩa là :

Công thức:

gọi là công thức Taylor của hàm số f(x).

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư – được gọi là công thức khai triển Maclaurinh.

2. Bài tập vận dụng

Cách 1: Dùng công thức tổng quát, tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x = x₀ hoặc x = 0 (Maclaurin) đến đạo hàm cấp n, rồi áp dụng công thức.

Cách 2: Dùng tính chất, hoặc đổi biến số thích hợp để đưa về những dạng đã có công thức khai triển.

Ví dụ: Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = ln(e^x + 1) đến số hạng cấp 5.

Ở đây, dù hàm số f(x) có dạng ln(e^x + 1) nhưng ta không thể áp dụng công thức khai triển của ln(u + 1) được vì công thức khai triển của ln(u + 1) chỉ áp dụng trong lân cận của u = 0 trong khi e^x → 1

Vậy ta chỉ có thể tính đạo hàm của hàm số đến cấp 5.

Ta có:

Do đó: