Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình lớp 8 có đáp án

A. Lý thuyết chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình lớp 8

I. Phương pháp giải chung

Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

* Chú ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn

Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

Về điều kiện thích hợp của ẩn

+ Nếu x biểu thị một chữ số thì 0 ≤ x ≤ 9

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x nguyên dương.

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thì x > 0.

Ví dụ: Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng - 87.

Hướng dẫn:

Gọi x là số nhỏ trong hai số nguyên cần tìm; x ∈ Z.

⇒ x + 1 là số thứ hai cần tìm.

Theo giả thiết, ta có 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng - 87

Khi đó ta có: 2x + 3(x + 1) = - 87

⇔ 2x + 3x + 3 = - 87 ⇔ 5x = - 90 ⇔ x = - 18.

So sánh với điều kiện x = - 18 thỏa mãn.

Vậy: Số thứ nhất cần tìm là - 18, số thứ hai là - 17.

II. Một số dạng toán lập phương trình lớp 8

1. Loại toán tìm hai số

+ Hướng dẫn học sinh trong dạng bài này gồm các bài toán như:

– Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng.

– Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng.

– Toán tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.

+ Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau:

1.1 Toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số

Ví dụ:

Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị.

Tìm hai số đó.

Lời giải:

Gọi số bé là x.

Số lớn là: x +12.

Chia số bé cho 7 ta được thương là :x/7

Chia số lớn cho 5 ta được thương là: (x+12)/5

Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:

 

 

 

 

Giải phương trình ta được x = 28

Vậy số bé là 28.

Số lớn là: 28 +12 = 40.

1.2 Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số công nhân của phân xưởng

Ví dụ :

Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau.

Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện.

Lời giải:

Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 – x (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: x – 3000 (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:

(15000 – x)+ 3000 = 18000-x  (cuốn)

Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:

x – 3000 = 18000 – x

Giải phương trình ta được: x = 10500 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 – 10500 = 4500 cuốn.

1.3 Dạng toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy

Ví dụ:

Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi.

Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?

Lời giải:

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương.

Số dãy ghế sau khi thêm là: x + 2 (dãy).

Số ghế của một dãy lúc đầu là:  100/x (ghế)

Số ghế của một dãy sau khi thêm là: 144/(x+2) ghế

 Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình:

 

 

 

 

Giải phương trình ta được x=10 (thỏa mãn đk)

Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế.

2. Loại toán chuyển động

Hướng dẫn học sinh lập bảng từng dạng:

– Nhìn chung mẫu bảng ở dạng toán chuyển động gồm 3 cột: Quãng đường, vận tốc, thời gian.

– Các trường hợp xảy ra như: Quãng đường đầu, quãng đường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn hoặc các đại lượng tham gia chuyển động đều được ghi ở hàng ngang.

– Đa số các bài toán đều lập phương trình ở mối liên hệ thời gian.

2.1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường

Ví dụ :

Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h20‘,ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h.

Tính vận tốc của ca nô và ô tô?

Lời giải:

Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).

Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).

Quãng đường ca nô đi là: (10/3)x (km)

Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17)(km).

Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

 

 

 

 

Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).

Vậy vận tốc ca nô là 18km/h.

Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35(km/h).

2.2. Chuyển động thường

Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức:

.     v_xuôi = v_thực + v_nước

.    v_ngược = v_thực – v_nước

Ví dụ :

Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20′.

Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

Lời giải:

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 km/h

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 km/h

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x+4) (h)

Thời gian tàu đi ngược dòng là: 80/(x-4) (h)

Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20′ = 25/3h nên ta có phương trình:

 

 

 

 

Giải phương trình ta được: x1 = -4/5 (loại) x2 = 20 (tmđk) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h

2.3. Chuyển động có nghỉ ngang đường

Học sinh cần nhớ:

.t_{dự định} =t_đi + t_nghỉ

.Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi

Ví dụ :

Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về  Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ.

Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.

Lời giải:

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x km/h (x>0)

Vận tốc lúc sau là 1,2 x km/h

Thời gian đi quãng đường đầu là: 163/x (h)

Thời gian đi quãng đường sau là: 100/x (h)

Theo bài ra ta có phương trình

 

 

 

Giải phương trình ta được x = 30 (tmđk)

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

2.4. Chuyển động ngược chiều

  Học sinh cần nhớ:

+ Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S

+ Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (không kể thời gian đi sớm).

Ví dụ :

Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30′ với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h.

Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

Lời giải:

Gọi thời gian đi của xe 2 là x h (x > 0)

Thời gian đi của xe 1 là  x+ 3/2 (h)

Quãng đường xe 2 đi là: 35x km

Quãng đường xe 1 đi là: 30(x+3/2) km

Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

 

 

 

 

Giải phương trình ta được x = 2 (tmđk)

Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.

2.5. Chuyển động cùng chiều

Học sinh cần nhớ:

+ Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

+ Cùng khởi hành:       t_{c/đ chậm} – t_{c/đ nhanh} = t_{nghỉ (tđến sớm)}

+ Xuất phát trước sau: t_{c/đ trước} – t_{c/đ sau} = t_{đi sau}

t_{c/đ sau} + t_{đi sau} + t_{đến sớm} = t_{c/đ trước}

Ví dụ :

Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20′ một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km.

Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

Lời giải:

Gọi vận tốc của thuyền là x km/h

Vận tốc của ca nô là x = 12 km/h

Thời gian thuyền đi là: 20/x

Thời gian ca nô đi là: 20/(x+12)

Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20′ và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được: x1 = -15

x2 = 3 (tmđk)

Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

2.6. Chuyển động một phần quãng đường

– Học sinh cần nhớ:

+ t_{dự định} = t_đi +t_nghỉ + t_{về sớm}

+ t_{dự định} = t_{thực tế} – t_{đến muộn}

+ t_{chuyển động trước} -t_{chuyển động sau} = t_{đi sau ( tđến sớm)}

– Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là x/2, x/3, 2x/3, 2x/4…..

Ví dụ:

Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1h40′.

Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

Phân tích bài toán:

Đây là dạng toán chuyển động ⅓, ⅔ quãng đường của chuyển động, có thay đổi vận tốc và đến sớm, có nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km (x>0). Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau:

Lúc đầu đi ⅓ quãng đường bằng xe đạp.

+ Sau đó xe đạp hỏng, chờ ô tô (đây là thời gian nghỉ)

Tiếp đó người đó lại đi ô tô ở ⅔ quãng đường sau.

+ Vì thế đến sớm hơn so với dự định.

– Học sinh cần điền thời gian dự định đi, thời gian thực đi hai quãng đường bằng xe đạp, ô tô, đổi thời gian nghỉ và đến sớm ra giờ.

– Công thức lập phương trình:

t_{dự định} = t_đi + t_nghỉ + t_{đến sớm} .

– Phương trình là:

Đáp số: 55(1/17)km

B. Bài tập có lời giải

Bài 1: Hai lớp A và B của một trường trung học tổ chức cho học sinh tham gia một buổi meeting. Người ta xem xét số học sinh mà một học sinh lớp A nói chuyện với học sinh lớp B thì thấy rằng: Bạn Khiêm nói chuyện với 5 bạn, bạn Long nói chuyện với 6 bạn, bạn Tùng nói chuyện với 7 bạn,…và đến bạn Hải là nói chuyện với cả lớp B. Tính số học sinh lớp B biết 2 lớp có tổng cộng 80 học sinh.

Lời giải:

Gọi số học sinh lớp A là x

Bạn thứ nhất của lớp A (Khiêm) nói chuyện với 4 + 1 bạn

Bạn thứ hai của lớp A (Long) nói chuyện với 4 + 2 bạn

Bạn thứ ba của lớp A (Tùng) nói chuyện với 4 + 3 bạn

…………………

Bạn thứ x của lớp A (Hải) nói chuyện với bạn

Do đó số học sinh lớp B là 4 + x

Vì 2 lớp có tổng cộng 80 học sinh nên ta có:

x + (4 + x) = 80

⇔ 2x - 76 = 0

⇔ x = 38

Vậy số học sinh lớp B là: 80 - 38 = 42 (Học sinh)

Bài 2: Khiêm đi từ nhà đến trường Khiêm thấy cứ 10 phút lại gặp một xe buýt đi theo hướng ngược lại. Biết rằng cứ 15 phút lại có 1 xe buýt đi từ nhà Khiêm đến trường là cũng 15 phút lại có 1 xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe chuyển động với cùng vận tốc. Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì có 1 xe cùng chiều vượt qua Khiêm.

Lời giải:

Gọi thời gian phải tìm là x (Phút)

Gọi thời gian Khiêm đi từ nhà đến trường là a (Phút)

Số xe Khiêm gặp khi đi từ nhà đến trường đi theo hướng ngược lại là: a/10

Số xe Khiêm gặp khi đi từ nhà đến trường đi theo hướng cùng chiều là: a/x

Số xe đi qua Khiêm khi Khiêm đi từ nhà đến trường cũng chính là số xe đã đi trên đoạn đường từ nhà Khiêm đến trường theo cả 2 chiều là

a/15+a/12 = 2a/15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vậy cứ sau 30 phút lại có xe cùng chiều vượt qua Khiêm.