Chứng minh hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông?

Câu hỏi: Chứng minh hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông?

Lời giải:

Vì hình vuông có tất cả các tính chất của hình thoi nhưng hai đường chéo của hình thoi không bằng nhau còn hình vuông thì bằng nhau. Vì vậy nếu hình thoi có hai đường chéo bằng nhau tức là hình vuông. Đây cũng là một trong những dấu hiệu nhật biết của hình vuông.

Cùng Top lời giải tìm hiểu về hình thoi và một số hình khác nhé.

1. Hình thoi

- Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Là hình bình hành đặc biệt với hai cạnh kề bằng và hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hình thoi có 4 dấu hiệu nhận biết, như sau:

+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

+ Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau

+ Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc.

- Tính chất của hình thoi

Trong hình thoi:

+ Các góc đối nhau bằng nhau.

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

+ Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.

2. Hình vuông

- Định nghĩa hình vuông: Hình vuông là hình tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

- Đặc điểm của hình vuông 

+ Hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau.

+ Hình vuông là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

+ Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

- Tính chất của hình vuông 

+ Hai đường chéo hình vuông bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

+ Giao của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.

+ Một đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.

+ Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.

+ Hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

- Dấu hiệu nhận biết hình vuông 

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

3. Hình chữ nhật:

- Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành.

- Tính chất

+ Hình chữ nhật là có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

+ Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

– Định lí

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+ Dấu hiệu nhận biết

+ Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Hình bình hành 

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. 

ABCDABCD là hình bình hành   ⇔{AB//CDAD//BC⇔{AB//CDAD//BC

* Nhận xét: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song.

* Định lí: Trong hình bình hành

- Các cạnh đối bằng nhau.

- Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

5. Hình bình hành

Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo thì ta có:

AB=CD,AD=BC, AB//CD,AD//BC đồng thời O là trung điểm của AC và BD.

 Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.