Cách tính chiều cao hình tam giác

Trong chương trình của môn hình học, chúng ta gặp rất nhiều loại hình tam giác. Mỗi loại có 1 đặc điểm khác nhau dẫn tới cách tính chu vi, diện tích, chiều cao, cạnh đáy,… của hình tam giác đó cũng khác nhau. Dưới đây là tổng hợp các Cách tính chiều cao hình tam giác được Toploigiai sưu tầm, mời bạn đọc cùng theo dõi nhé!

1.  Tìm hiểu chung về đường cao hình tam giác

- Trong hình học, đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Giao điểm của đường cao và đáy được gọi là chân của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích của một tam giác: diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy. Vì vậy, đường cao dài nhất vuông góc với cạnh ngắn nhất của tam giác. Các đường cao cũng liên quan đến các cạnh của tam giác qua các hàm lượng giác.

Độ dài đường cao thường được ký hiệu là chữ h (viết tắt cho từ tiếng Anh height; có nghĩa là "chiều cao") và thường viết xuống dưới là chữ đại diện cho độ dài của cạnh đường cao đó cắt. Ví dụ đường cao vuông góc cạnh c sẽ được ký hiệu là hc.{\displaystyle h_{c}}

- Trong một tam giác cân (tam giác có hai cạnh bằng nhau), có đường cao tương ứng với cạnh đáy cũng chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó, đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

- Trong một tam giác vuông (tam giác có một góc bằng 90°), đường cao có đáy là một cạnh góc vuông trùng với cạnh góc vuông còn lại. Đường cao với đáy là cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài lần lượt là p và q, ta có quan hệ:

- Trực tâm của tam giác:

Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

Ta có tính chất: "Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại".

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó.

Tính chất:

- Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

- Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

>>> Tham khảo: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở

2. Cách tính chiều cao hình tam giác:

a. Trong tam giác thường:

Tính đường cao trong tam giác thường sử dụng công thức Heron:

Với a, b, c là độ dài các cạnh

ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC

p là nửa chu vi và p=(a+b+c)/2

b. Trong tam giác vuông:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Trong đó:

a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên.

b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền; c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền.

h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

c. Trong tam giác cân:

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như sau:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

⇒ HB = HC = BC/2

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH2 + BH2 = AB2

AH2 = AB2 - BH2

d. Trong tam giác đều:

– Đường cao trong tam giác đều chính là đường trung trực của cạnh đáy và cũng chính là đường phân giác của ở đỉnh tam giác và cũng chính là đường trung tuyến.

 

Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như sau:

Công thức tính đường cao: 

Trong đó: h là đường cao của tam giác đều; a là độ dài cạnh của tam giác đều.

>>> Tham khảo: Hình tam giác đều có mấy trục đối xứng?

3. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho hình △ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∊ BC), biết BH= 9m, BC= 25m. Tính độ dài các đường cao trong △ABC?

Lời giải:

H ∊ BC mà BH= 9m, BC= 25m

⇒ CH= 25 - 9 = 16 (m)

Áp dụng công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AH² = BH x CH = 9 x 16 = 144

⇒ AH = 12 (m)

AB² = BC x BH = 25 x 9 = 225

⇒ AB = 15 (m)

AC² = BC x CH = 25 x 16 = 400

⇒ AC = 20 (m)

Vậy độ dài 3 đường cao trong △ABC vuông tại A: AB, AC, AH lần lượt là 15m, 20m, 12m.

Ví dụ 3:  Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, cho AB:AC = 3:4, AB + AC = 21cm.

a. Tính các cạnh của tam giác ABC.

b. Tính đường cao AH.

Lời giải

-----------------------------------

Trên đây là bài tìm hiểu của Toploigiai về Cách tính chiều cao hình tam giác? Hi vọng thông qua bài mở rộng đường cao hình tam giác ở trên, Toploigiai có thể giúp các bạn có thêm nhiều kiến thức để áp dụng giải bài tập tốt hơn. Chúc bạn học tốt!