Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ về phương trình đường thẳng

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố trong phương trình đường thẳng.

Phương pháp:

Sử dụng các lý thuyết về phương trình đường thẳng để tìm điểm đi qua, VTCP,…

Dạng 2: Chuyển đổi các dạng phương trình chính tắc và tham số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng trong phương trình đã cho.

- Bước 2: Viết phương trình dạng chính tắc, tham số dựa vào hai yếu tố vừa xác định được ở trên.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng.

Phương pháp chung:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua A.

- Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên.

*Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

A. Phương pháp giải

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) .

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥ (α)

+ Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 

và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ?

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm: 

Chọn B.

*Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

A. Phương pháp giải

+ Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với 

 . Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là 

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

*Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

A. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra 

Mà (P) và (Q) cắt nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là 

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto 

 làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt x= t ( hoặc y= t hoặc z= t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x-3y+z=0 và (α'):x+y-z+4=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d

Hướng dẫn giải

*Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

*Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng 

Hướng dẫn giải

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ (1 – t; t; 4t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: t + 2. 4t = 0 ⇔ t = 0 => A (1; 0; 0)

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ ( 2 – t’; 4 + 2t’; 4)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: (4 + 2t’) + 2.4 = 0 ⇔ t = - 6 => B (8; -8; 4)