Các dạng bài tập về cực trị cực đại

A. Tóm tắt lí thuyết

1. Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số  f  xác định trên tập hợp D (D ⊂ ℝ) và xo∈ D

a) x_o được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm xo sao cho:

Khi đó  f(x_o) được gọi là giá trị cực đại của hàm số  f .

b) x_o được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm xo sao cho:

Khi đó  f(x_o) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  f .

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f  thì người ta nói rằng hàm số f  đạt cực trị tại điểm xo .

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ)

Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b) ⊂ D nghĩa là xo là một điểm trong của D

Chú ý

• Giá trị cực đại (cực tiểu)  f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của  f  trên tập hợp D.
• Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tâp hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.
• xo là một điểm cực trị của hàm số  f  thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số  f .

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xo. Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm xo thì f ‘(xo) = 0

Chú ý: 

• Đạo hàm f ‘ có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f  không đạt cực trị tại điểm xo.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số đạt cực trị tại xo và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số f  liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a; x_o) và (x_o; b). Khi đó:

Định lý 3: Giả sử hàm số f  có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo ;  f ‘(xo) = 0 và f  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f  đạt cực đại tại điểm x_o

b) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f  đạt cực tiểu tại điểm x_o

Chú ý:

Không cần xét hàm số f  có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o

B. Bài tập tìm cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3... là các nghiệm).

Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Lời giải

Ta có: y' = 3x² - 6x = 0 

Và y'' = 6x - 6

Suy ra: y''(0) = -6 < 0; y''(2) = 6 > 0

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x₀; y₀) thì y''(x₀) < 0

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại điểm M(x₀; y₀) thì y''(x₀) > 0

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – mx² + (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

A. m = 3      

B. m > 3

C. m ≤ 3      

D. m < 3

Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y' = 3x² – 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax³ + bx2 + cx + d

Đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c; Δ'= b² – 3ac

Xét phương trình: 3ax² + 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không có cực trị khi b² – 3ac ≤ 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 có 2 cực trị khi b² – 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c có đồ thị là (C)

Đạo hàm y' = 4ax³ + 2bx. Xét phương trình y' = 0

Hay 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b) = 0

Để đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay 

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = (m - 1)x3 – 3x2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Để hàm số có cực đại, cực tiểu xác định m?

A. m = 1      

B. m ≠ 1

C. m > 1      

D. m tùy ý.

Lời giải:

* Cách 1:

Ta có đạo hàm y' = 3(m - 1)x2 - 6x - m - 1

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt :

* Cách 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d.

Ta có đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c

Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'.

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: Do x₁, x₂ là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; y'(_x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

+ Phân tích hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c có đồ thị là (C).

Ta có y' = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)

Đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0

Hàm số có 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài các đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT	Dữ kiện	Công thức thỏa ab < 0
1	Tam giác ABC vuông cân tại A	8a + b3 = 0
2	Tam giác ABC đều	24a + b3 = 0
3	Tam giác ABC có góc ∠BAC = α
4	Tam giác ABC có diện tích SΔABC = S0	32a3(S0)2 + b5 = 0
5	Tam giác ABC có diện tích max (S0)
6	Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC = r0
7	Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0	a.m02 + 2b = 0
8	Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0	16a2n02 - b4 + 8ab = 0
9	Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox	b2 – 4ac = 0
10	Tam giác ABC có 3 góc nhọn	b(8a + b3) > 0
11	Tam giá ABC có trọng tâm O	b2 – 6ac = 0
12	Tam giác ABC có trực tâm O	b3 + 8a - 4ac = 0
13	Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC = R0
14	Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi	b2 – 2ac = 0
15	Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp	b3 – 8a – 4abc = 0
16	Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp	b3 – 8a – 8abc = 0
17	Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC	b3k2 - 8a(k2 - 4) =0
18	Trục hoành chia ΔABC thành hai phần có diện tích bằng nhau	b2 = 4√2|ac|
19	Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành	b2 – 8ac = 0
20	Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x³ + 2x² + mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn x_CĐ < x_CT

A. m < 2      

B. -2 < m < 0

C. -2 < m < 2      

D. 0 < m < 2

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx² + 4x + m

Để hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ < xCT

Suy ra chọn đáp án D.