Các dạng nguyên hàm thường gặp và ví dụ cụ thể

A. Lý thuyết nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

       

2. Các tính chất của nguyên hàm

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm bao gồm những dạng sau:

 – Công thức nguyên hàm của lượng giác

 – Công thức nguyên hàm mở rộng

 – Công thức nguyên hàm từng phần

 – Công thức nguyên hàm và tích phân.

* Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Công thức nguyên hàm của hàm số sơ cấp	Công thức nguyên hàm của hàm hợp
∫0dx = C ∫dx = x + C ∫xadx = (xa+1/a+1) +C    (a≠  -1) ∫(1/x)dx =ln|x| +C ∫exdx = ex +C ∫axdx = a/lna + C (a>0, a ≠ 1) ∫cosxdx = sinx + C ∫sinxdx = – cosx + C ∫1/(cos2x) dx = tanx + C ∫1/(sin2x) dx = – cotx + C	∫0du = C ∫du= u +C ∫uadu = (ua+1/a+1) + C ∫1/u du = ln |u| + C ∫eudu = eu +C ∫audu = au/lna  + C ∫∫cosudu = sinu + C  ∫∫sinudu = -cosu +C ∫1/(cos2u)du= tanu +C ∫1/(sin2u)du = – cotu +C

4. Các phương pháp giải bài tập tìm nguyên hàm

Để giải bài toán tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x). Đồng nghĩa với việc ta đi tìm một tích của hàm số đó. Để giải tích phân bất định, ta sử dụng 1 trong 3 phương pháp:

- Phương pháp phân tích.

- Phương pháp đổi biến số.

- Phương pháp tích phân từng phần.

Để có thể giải được các bài tập dạng này điều bạn cần quan tâm đó là f(x) có dạng như thế nào để có được các bước nghiên cứu một cách cụ thể phân tích chúng. Việc bạn cần làm là nghiên cứu và biến đổi để có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm ra kết quả. Không chỉ có phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm đơn giản mà bạn còn có thể áp dụng một trong các cách nói trên.

4.1. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Để hiểu hơn về việc áp dụng công thức trong bảng công thức nguyên hàm cơ bản bạn có thể tham khảo ví dụ sau đây.

4.2. Áp dụng công thức biến đổi nguyên hàm

Đối với phương pháp biến đổi của nguyên hàm thường gặp ta có một số công thức tổng quát trong bảng nguyên hàm đầy đủ cụ thể như sau:

Dựa vào những công thức trong bảng nguyên hàm nêu trên bạn có thể áp dụng được chúng dễ dàng vào nhiều bài toán khó hơn, phức tạp hơn.

4.3. Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần

Đây là phương pháp được sử dụng khi bài toán yêu cầu tính nguyên hàm của một tích.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Chú ý: Đối với phương pháp này bạn cần có thứ tự ưu tiên đặt u có trong phương pháp nguyên hàm từng phần. Cụ thể theo hướng Logarit – đa thức – hàm lượng giác – hàm mũ. Bạn cần chú ý đến cách phân tích theo hướng trên để có thể có các bước làm bài hiệu quả nhất.

4.4. Phương pháp nguyên hàm từng phần và phối hợp đổi biến số

Đối với phương pháp này bạn cần áp dụng đúng công thức thì mới có thể giải được bài tập một cách chi tiết và cho ra đúng đáp án của bài toán.

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định

Ta tìm được sint, thay vào (*) ta tính được I.

4.5. Phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Khi bạn bắt gặp những nguyên hàm rắc rối nhiều ẩn bạn nên sử dụng nguyên hàm phụ để giải bài toán một cách nhanh và chi tiết nhất. Đối với kiểu bài toán như thế này bạn cần áp dụng đúng công thức thì sẽ rất nhanh chóng và thuận lợi. Cụ thể như sau:

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

5. Các lỗi sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm

Đa số khi giải dạng đề này các bạn thường mắc phải các sai lầm như:

– Hiểu sai bản chất công thức

– Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm

– Không nắm vững định nghĩa về nguyên hàm, tích phân

– Đổi biến số nhưng quên đổi cận

– Đổi biến không tính vi phân

– Không nắm vững phương pháp nguyên hàm từng phần

B. Bài tập nguyên hàm

Dạng 1. Sử dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

 

A. m = 3

B. m = 0

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chọn đáp án C.

Dạng 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp vi phân

Phương pháp:

Ví dụ 2.1: Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải: