Các bước giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m

Hướng dẫn giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m đầy đủ, hay nhất. Giúp các em có thể nắm vững kiến thức về phương trình mũ chứa tham số m. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Một số phương pháp áp dụng

2. Các dạng bài toán phương trình mũ chứa tham số m

Dạng 1: Tìm tham số m để f(x,m) = 0 có nghiệm (hoặc không có nghiệm) trên miền D

*Cách giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m 

      - Phương trình chứa tham số m luôn là dạng toán gây khó khăn cho rất nhiều em, vì để giải dạng

phương trình chứa tham số cần khả năng bao quát các trường hợp có thể xảy ra, và phương trình

mũ chứa tham số cũng vậy.

      -  Để giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m ta cần thực hiện các bước sau:

      -  Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x) = T(m)

      -  Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D

      - Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số T(m) để đường thẳng y = T(m) nằm ngang (song song Ox) cắt đồ thị hàm số y = f(x).

      -  Bước 4: Kết luận các giá trị của T(m) để phương trình f(x) = T(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

* Chú ý:

      - Nếu hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị T(m) cần tìm là những m thỏa mãn

      - Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y = T(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.

      - Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu khôngsẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sau cùng bị sai. 

Dạng 2: Tìm tham số m để f (x,m) hoặc f(x,m) ≤ 0 có nghiệm trên D.

      - Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2

      - Bất phương trình P(m)≤f(x)P(m)≤f(x)  nghiệm đúng 

– Bất phương trình nghiệm đúng 

– Nếu  

là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3. Một số bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm m phương trình chứa tham số sau có nghiệm:

Lời giải:

      - Điều kiện: x∈[-2;2]

      - Với t = 2 thì 0.m = 1 (vô lý) vậy t = 2 ko phải là nghiệm của pt.

      - Với t ≠ 2 ta chia 2 vế cho t - 2, ta được: 

      - Xét hàm số 

ta có:

      - Đối chiếu điều kiện ta chỉ nhận t = 3 (loại t = 1).

      - Ta có bảng biến thiên như sau:

      - Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 4.

Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình chứa tham số sau:

Lời giải:

      - Đặt t = x + 2mx + 2, phương trình (*) trở thành:

      5 - 5 = t + m - 2

      ⇔ 5 + t = 5 + 2t + m - 2 (1)

+) Xét hàm số: f(t) = 5 + t.

      - TXĐ: D = R.

      - Ta có: f'(t) = 5 .lnt + 1 >0 ∀x ∈ D ⇒ hàm số đồng biến trên D.

      Vậy có (1) ⇔ f(t) = f(2t + m - 2)

      ⇔ t = 2t + m - 2 ⇔ t + m - 2 = 0

      ⇔ x + 2mx + 2 + m - 2 = 0

      ⇔ x + 2mx + m = 0 (2)

Xét phương trình (2) ta có: Δ' = m - m

      - Nếu Δ' < 0 ⇔ m - m < 0 ⇔ 0 < m < 1 thì pt(2) vô nghiệm suy ra pt(*) vô nghiệm.

      - Nếu Δ' = 0 ⇔ m - m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 1 thì pt(2) có nghiệm kép.

      Với m = 0 pt(*) có nghiệm x = 0

      Với m = 1 pt(*) có nghiệm x = -1.

      - Nếu Δ' > 0 ⇔ m - m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1 thì pt(2) có hai nghiệm phân biệt. 

Bài tập 3: Tìm m để phương trình mũ sau có 4 nghiệm phân biệt:

Lời giải:

      Khi đó pt(1) trở thành

      m.u + v = uv + m ⇔ m.u - m + v - uv = 0

      ⇔ m(u - 1) - v(u - 1) = 0 ⇔ (u - 1)(m - v) = 0

      ⇔ u - 1 = 0 hoặc m - v = 0

      ⇔ u - 1 = 0 hoặc m = v 

      Với v = m ta có: (2)

      Để pt(*) có 4 nghiệm thì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Lời giải:

      - Điều kiện x ≥ 0

Đặt  điều kiện vì 

      Khi đó (*) trở thành: 2t - 5t + m = 0 (1)

      Đến đây ta có 2 cách giải:

+ Cách 1: Giải theo dạng pt bậc 2 với t, ta có: Δ = 25 + 8m

      - Nếu Δ < 0 ⇔ 25 - 8m < 0 ⇔ m > 25/8 pt(1) vô nghiệm nên pt(*) vô nghiệm

      - Nếu Δ = 0 ⇔ 25 - 8m = 0 ⇔ m = 25/8 pt(1) có nghiệm kép, nên pt(*) có nghiệm x = 5/4 (thỏa đk)

      - Nếu Δ > 0 ⇔ 25 - 8m > 0 ⇔ m < 25/8 pt(1) có 2 nghiệm phân biệt.

ta thấy trong 2 nghiệm trên có ít nhất nghiệm t > 1/2 (thỏa điều kiện) nên có nghiệm x thỏa điều kiện.

Kết luận: Với m ≤ 25/8 thì pt(*) có nghiệm.

+ Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số: (1) ⇔ -2t + 5t = m

      Xé hàm số y = -2t + 5t trên đoạn [1/2;+∞)

      Ta có: y' = -4t + 5.

      Cho y' = 0 ⇔ -4t + 5 = 0 ⇔ t = 5/4 (thỏa)

Ta có bảng biến thiên.

      Từ bảng biến thiên ta thấy với m ≤ 25/8 thì pt(*) có nghiệm.

Bài tập 5: Giải và biện luậm theo m số nghiệm của phương trình sau:

Lời giải:

      - Đặt t = 2 , điều kiện t > 0. Khi đó

      Xét hàm số:  

xác định trên tập D = (0;+∞)

      - Bảng biến thiên:

      Từ bảng biến thiên ta thấy: