Các dạng bài tập số phức nâng cao

Dạng bài 1: Các phép toán trên tập hợp số phức

Về phương pháp giải:

Các phép tính về số phức: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức.

 

 

Về ví dụ minh họa:

Cho số phức z = (2 + 7i) ( -1  + 3i). Số phức liên hợp của z là:

 

 

 

 

 

Hướng dẫn giải:

Cách 1: z = (2 + 7i) ( - 1 + 3i) = -2 + 6i - 7i + 21i² = - 2 - 21 + i (6-7) = -23 - i

 

 

Cách 2: Sử dụng máu tính fx 570 VNPLUS

Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2

Bước 2: Nhập (2 + 7i) (-1 + 3i) ta được kết quả là - 23 - i.

Chọn đáp án D

Dạng bài 2: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Về phương pháp giải:

Để tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm theo những bước sau:

Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = x + yi (x, y ∈ ℜ).

Bước 2: Thay số phức vào phương trình khai triển

Bước 3: Chuyển về một vế, rút gọn và đưa về dạng A + Bi = 0

Bước 4: Cho phần thực A bằng 0, phần ảo B bằng 0. Thiết lập hệ phương trình

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chọn đáp án B

Dạng bài 3: Phương trình trên tập số phức

Ví dụ minh họa:

Kí hiệu z₁,  z₂,  z₃, z₄ là bốn nghiệm của phương trình z⁴ - z² - 12 = 0. Tổng T = |z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| bằng:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chọn đáp án C

Một số bài tập có lời giải

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Đáp án : C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Đáp án : A

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 3i| + |z + 2 - i| = 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |2z + 1 + 2i|.

A. maxP = 8; minP = √39.   

B.maxP = 10; minP = √39.

C. maxP = 8; minP = 6.     

D. max P = 10; minP = 6

Lời giải:

Ta có:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Đáp án : A

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 - i| + |z - 4 -7i| = 6√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 1 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Lời giải:

Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2; 1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z₁ = -2 + i và z₂ = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

+ Phương trình đường thẳng AB: x - y + 3 = 0 từ đó đoạn AB có phương trình như trên tuy nhiên x ∈ [-2; 4] .

+ Gọi C(1; -1) khi đó ta có:P = MC, với M thuộc đoạn AB

 

 

 

+ max MC = max{MA, MB} = max{√13, √73} = √73

+ Vậy đáp số là:

 

 

 

Chọn D.

Cách 2: Dùng hình học và đại số

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2;1); B(4;7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z₁ = -2 + i và z₂ = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

Vì M ∈ [AB] nên M(a; a + 3); a ∈ [-2; 4] (vì AB: x - y + 3 = 0).

+ Khi đó ta có:

Khảo sát hàm số trên ta được kết quả như trên.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

Giả sử z = a + bi, khi đó ta có:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết quả của bài toán.

Câu 5. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

là hai đường thẳng d₁ ; d₂. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁ ; d₂ là bao nhiêu?

A. d(d₁ ; d₂) = 2.    B. d(d₁ ; d₂) = 4.    C. d(d₁ ; d2) = 1.    D. d(d₁ ; d₂) = 6.

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Đáp án : B

Câu 6. Cho số phức z thoả mãn |z - 3 - 4i| = √5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của biểu thức P = |z + 2|² - |z - i|². Tính module số phức w = M + mi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cách 2:

|z - 3 - 4i| = √5. Nên (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5 (C)

Δ 4x + 2y + 3 - P = 0. Tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung

⇔d(I; Δ) ≤ R ⇔ |23 - P| ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33

Vậy Max P = 33; MinP = 12

Đáp án : B

Câu 7 . Cho ba số phức z₁; z₂; z₃ thoả mãn hệ:

Tính giá trị của biểu thức: T = |az₁ + zb₂ + cz₃|

Lời giải:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suy ra hoặc x = k2π hoặc y = k2π hoặc x + y= k2π do đó hai trong ba số z₁; z₂; z₃ bằng nhau.

 

 

 

 

 

 

Câu 8. Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7- 9i|

 

 

 

 

 

Lời giải:

Gọi M(x ; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn

(x - 1)² + (y - 1)² = 25 có tâm và bán kính :I(1 ;1) và R = 5.

Gọi A(0 ;8) ; B(7 ; 9) thì

 

 

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :

Cách 1 :

(x - 1)² + (y - 1)² = 25 ⇔ T = x² + y² - 23 = 0

 

Ta có : P = 2MA - MB = 2(MA - MC) ≤ 2AC = 5√5

Dấu "=" đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM.

Đáp án B.