Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

I. Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Dựa vào định nghĩa hàm chẵn, hàm lẻ tương tự như chúng ta đã biết ở chương trình lớp 10. Chúng ta lần lượt thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

+ Nếu D là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D) ta chuyển qua bước 2

+ Nếu D không là tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà –x ∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Thay x bằng –x và tính f(-x).

Bước 3: Kiểm tra (so sánh):

Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn

Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ

Trường hợp khác kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

Ví dụ:

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y = sinx.

b. y = cos(2x).

c. y = tanx + cos(2x + 1).

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: sin (-x) = -sinx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: cos(-2x) = cos(2x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c. 

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có:

tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1).

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

II. Tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác cơ bản

a. Hàm số y=sinx

Tập xác định: R là tập đối xứng.

b. Hàm số y=cosx

Tập xác định: R là tập đối xứng.

c. Hàm số y=tanx

Tập xác định: 

d. Hàm số y=cotx

Tập xác định: D = R\{kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng

Tóm lại, trong bốn hàm số lượng giác cơ bản chỉ có hàm số y=cosx là hàm số chẵn. Các hàm số còn lại là hàm số lẻ.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + sinx.

b) y = sin2x + cot100x

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

sin (-x) + cos(-x) = - sinx + cosx. Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π /100, k ∈ Z}.

sin(-2x) + cot(-100x) = - sin2x – cot(100x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx.

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

cos(-x) + cos(-2x) = cosx + cos2x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π/2, k ∈ Z}.

tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 

a. y = sinx.cosx

b. y = 1 - cosx

Lời giải

a. Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x∈D)

Ta có f(-x) = sin(-x).cos(-x) = (-sinx).consx = -sinx.cosx = -f(x)

→Vậy hàm số y = sinx.consx là hàm số lẻ

b. Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x∈D)

Ta có f(-x) = 1 – cons(-x) = 1 – cosx = f(x)

→ Vậy hàm số y = 1 – cosx là hàm số chẵn