Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm (hay nhất)

Hướng dẫn cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm đầy đủ, hay nhất. Giúp các em có thể nắm vững kiến thức về phương trình có nghiệm. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

I. Phương pháp giải

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

- Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x³ - 8x² + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (–1;2).

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) = 4x³ - 8x² + 1 liên tục trên R. 

Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0.

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂ R) (1)

Ta có: f(0) = 0³ + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Ví dụ 3: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)⁴ + 2.(-1)² - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.1⁴ + 2.1² - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x⁵ - 5x³ + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x⁵ - 5x³ + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) =  (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0).

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập áp dụng

Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x⁵-5x³-1=0.

Bài 2. CMR phương trình:2x³-5x²+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3. CMR phương trình: 3x³ + 2x – 5 = 0  có ít nhất một nghiệm.

Bài 4. CMR phương trình: 4x⁴ + 2x² – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).

Bài 5. CMR phương trình 2x³ – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn 

Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

                     (m² – 4)(x – 1)⁶ + 5x² – 7x + 1=0

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:

a. x⁵ + 7x⁴ – 3x² + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p)

c. x⁵ – 5x³ + 4x – 1 = 0     có năm nghiệm phân biệt

d. (m² – 1)x⁵ – (11m² – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)*

Bài 8. CMR các phương  sau luôn có nghiệm:

a) m(x - 1)(x - 2) + 2x + 1 = 0

b) (m² - 2m)x³ + 2x - 1 = 0

c) cosx + mcoss2x = 0

d) (1 - m²)(x + 1)³ + x² - x - 3 = 0

Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x⁵ + 3x⁴ + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2x³ + 3x² + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4x⁴ + 2x² – x – 28 = 0 luôn có nghiệm