Thiết diện là gì

Câu hỏi: Thiết diện là gì?

Trả lời:

Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác…

Sau đây, mời bạn đọc cùng với Top lời giải tìm hiểu chi tiết về Thiết diện qua bài viết dưới.

1. Thiết diện của một hình là gì?

Định nghĩa

Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác…

Theo cách khác, thiết diện được định nghĩa là các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó chính là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của mặt phẳng với hình chóp đó. 

Ví dụ 1: Cho hình chóp ( S.ABCD ). Lấy ( M ) là trung điểm ( SA ). Khi đó mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) và song song với mặt phẳng đáy sẽ cắt hình chóp. Thiết diện là tứ giác ( MNPQ ) với ( N,P,Q ) lần lượt là trung điểm ( SB,SC,SD )

2. Cách xác định thiết diện?

Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng, ta có hai phương pháp chính là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

a. Phương pháp giao tuyến gốc.

Bài toán. Xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α).

Phương pháp giao tuyến gốc (Trace method).

- Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (α) với một mặt H của hình chóp (thường là với mặt đáy).

- Tìm các giao điểm của giao tuyến d với các cạnh, đường chéo của mặt H.

- Dựa vào các giao điểm này và giao tuyến d, tìm tiếp các giao tuyến của mặt phẳng (α) với những mặt còn lại của hình chóp.

Ví dụ tìm thiết diện bằng phương pháp giao tuyến gốc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không là hình thang. Giả sử M là một điểm trên SD, xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Hướng dẫn.

- Rõ ràng rằng giao tuyến của mặt phẳng (ABM) với mặt đáy (ABCD) là đường thẳng AB, nên chúng ta lựa chọn đường thẳng AB làm giao tuyến gốc.

- Tiếp theo, ta xác định các giao điểm của đường thẳng AB với các cạnh của đáy, nếu không được thì sẽ sử dụng đến giao điểm với đường chéo. Vì tứ giác ABCD không là hình thang nên kéo dài hai đường thẳng AB và CD thì chúng sẽ cắt nhau, giả sử là điểm I.

- Lúc này, đường thẳng IM nằm trong mặt phẳng (SCD) nên nó sẽ cắt được đường thẳng SC, giả sử cắt tại điểm N.

- Rõ ràng, mặt phẳng (ABM) lần lượt cắt các mặt của hình chóp S.ABCD theo các giao tuyến tạo thành một tứ giác là AMNB nên thiết diện chính là tứ giác AMNB.

b. Phương pháp phép chiếu xuyên tâm

Phép chiếu xuyên tâm (còn được gọi là phép phối cảnh, tiếng Anh: inner projection) được giới thiệu ngay từ lớp 8, trong chương trình công nghệ – vẽ kỹ thuật.

Trong không gian, cho một điểm S và một mặt phẳng (P) không đi qua S. Quy tắc biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng SM được gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm S) xuống mặt phẳng (P).

- Trong phép chiếu này, các điểm M nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua S và song song với (P) thì không có ảnh. Trong chương trình vẽ kỹ thuật, để cho mọi điểm trong không gian đều có ảnh, người ta bổ sung cho (P) một đường thẳng ở vô tận, coi như giao của (P) và (Q).

- Nếu ta hạn chế chỉ xét phép chiếu trên một mặt (R) nào đó trong không gian thì phép chiếu xuyên tâm nói trên gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm S) từ mặt (R) xuống mặt phẳng (P).

- Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD có C′ là một điểm trên cạnh SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABC′).

Hướng dẫn.

- Rõ ràng vì đáy là một tứ giác bất kỳ, nên có nhiều khả năng kéo dài các cạnh đáy chúng sẽ không thể cắt nhau. Do đó ta không thể sử dụng phương pháp giao tuyến gốc.

- Trong mặt phẳng (ABC′), ta chọn một tam giác làm tam giác cơ sở, chính là tam giác ABC′  luôn. Ta tìm ảnh của nó qua phép chiếu xuyên tâm S lên mặt phẳng đáy, chính là tam giác ABC.

- Tiếp theo, ta xác định giao điểm của tam giác ABC này với các cạnh và đường chéo của đáy. Ta tìm thấy O là giao điểm của AC và BD.
Lưu ý rằng, điểm O trên mặt phẳng đáy, mà O thuộc vào cạnh AC, cạnh AC lại là ảnh của cạnh AC′ qua phép chiếu. Điều này chứng tỏ phải có một điểm nào đó (tạm đặt tên là I), mà qua phép chiếu thì tạo thành điểm O. Mục đích của ta là đi tìm điểm I này.

- Trong mặt phẳng (SAC) giao điểm của SO và AC′ chính là điểm I nói trên. Lúc này, mặt phẳng (ABC,) xuất hiện một đường thẳng mới là đường thẳng BI, mà đường thẳng này có thể cắt được SD.

- Trong mặt phẳng (SBD) gọi D′ là giao điểm của BI và SD.

- Dễ dàng chỉ ra thiết diện cần tìm là tứ giác ABC′D′.