Ước chung là gì?

1. Ước chung là gì?

Ước chung của hai hay nhiều số là ước chung của tất cả các số đó.

Số nguyên dương b lớn nhất là ước của cả hai số nguyên a, b được gọi là ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của a và b. Trong trường hợp cả hai số nguyên a và b đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của a và b.

Nói theo cách khác uớc số là một số tự nhiên khi một số tự nhiên khác chia với nó sẽ được chia hết.

Mô tả rõ hơn thì khi một số tự nhiên A được gọi là ước số của số tự nhiên B nếu B chia hết cho A.

Ví dụ: 6 chia hết được cho [1,2,3,6], thì [1,2,3,6] được gọi là ước số của 6.

2. Ước chung lớn nhất là gì?

ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Các số nguyên tố cùng nhau là các số có ƯCLN bằng 1.

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

3. Cách tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

***Lưu ý:

+ Hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ƯCLN của hai số bằng 1.

+ Cách tìm Ước chung thông qua tìm ước chung lớn nhất.

4. Phương pháp chung để giải

1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số.

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là: ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này không khó

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd²; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd² = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

Ví dụ: Tìm ƯCLN (18;30)

Giải:

- Bước 1: Phân tích các thừa số ra số nguyên tố

18 = 2.3²

30=2.3.5

- Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3

- Bước 3: Vậy ƯCLN (18;30) = 2.3 = 6

5. Bài tập minh họa ước chung và bội chung

Bài 1: Tìm số tự nhiên A có bốn chữ số sao cho đó chia cho 131 thì dư 112, chia cho 132 thì dư 97 nhưng chia hết cho 99.

Giải:

Theo đề bài, ta có:

A = 131p + 112 = 132q + 97

Hay 131p = 132q – 15 = 131q + (q – 15)

⇒q–15⋮131⇒q=131x+15(x∈N)

mà  A = 132q + 97 = 132. (131x + 15) = 132 .131x + 1980

Vì A có bốn chữ số nên x = 0 và 1980 : 99 = 20

Vậy số cần tìm là A = 1980.

Bài 2: Cho a = 123456789; b = 987654321.

Tìm ƯCLN của (a; b)

Giải:

Ta có: a⋮9,b⋮9 (vì tổng các chữ số của nó chia hết 9)

Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu ƯC (a; b) = d thì 9⋮d

Vậy mọi ƯC của a, b đều là ƯC của 9 hay 9 = ƯCLN (a; b)

Bài 3: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của  1.

Đáp án:

Ư(4) = {1; 2; 4}

Ư(6) = {1; 2; 3; 6}

Ư(9) = {1; 3; 9}

Ư(13) = {1;13}

Ư(1) = {1}

Bài 4: Tìm ƯCLN của:

a) 56 và 140

b) 24, 84, 180

c) 60 và 180

d) 15 và 19

Lời giải:

a) Phân tích ra thừa số nguyên tố:

56 = 2³ × 7

140 = 2² × 5 × 7

Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.

⇒ ƯCLN (56, 140) = 2² × 7 = 28

b) 84 = 2² × 3 × 7

24 = 2³ × 3

180 = 2² × 3² × 5

⇒ ƯCLN (24; 84; 180) = 2²× 3 = 12.

c) 60 = 2² × 3 × 5

180 = 2² × 3² × 5

⇒ ƯCLN (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60