Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số?

Tổng hợp những kiến thức về ước chung lớn nhất cùng với cách tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số. Hãy cùng thầy Phú Toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Ước chung là gì?

- Cho hai số a và b. Nếu có một số d thoả mãn a ⋮ d và b ⋮ d thì d được gọi là ước chung của a và b. Tập hợp các ước chung của hai số a và b được kí hiệu là ƯC(a,b).

- Khi một số tự nhiên A được gọi là ước số của số tự nhiên B nếu B chia hết cho A.

Ví dụ: 6 chia hết được cho [1,2,3,6], thì [1,2,3,6] được gọi là ước số của 6.

2. Ước chung lớn nhất là gì?

- Định nghĩa: ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

- Các số nguyên tố cùng nhau là các số có ƯCLN bằng 1.

- Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

* Chú ý: Trong trường hợp cả hai số nguyên a và b đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của a và b.

3. Cách tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số

Để tìm UCLN của hai hay nhiều số ta làm theo hướng dẫn chi tiết dưới đây:

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

***Lưu ý:

+ Hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ƯCLN của hai số bằng 1.

+ Cách tìm Ước chung thông qua tìm ước chung lớn nhất.

1. Ước chung của hai số

- Bước 1: Phân tích các thừa số ra số nguyên tố

18 = 2.3²

30 = 2.3.5

- Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3

- Bước 3: Vậy ƯCLN (18,30) = 2.3 = 6

 2. Ước chung của ba số

- Để tìm ước chung của ba số, ta tìm UCLN của hai số đầu tiên trước, sau đó tìm UCLN của kết quả với số thứ ba.

Ví dụ: Ta có: a = 24, b = 36 và c=60

UCLN (24,36)=12

UCLN (12,60)=12

=> UCLN(12,60)=12

Vậy UCLN (24,36,60) = 12.

3. Cách tìm ƯCLN bằng máy tính

Để có thể tìm ƯCLN một cách nhanh chóng và chính xác ta có thể sử dụng máy tính cầm tay. 

>>>Nội dung hướng dẫn chi tiết tại đây

5. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số

Bài 1: Tìm ƯCLN của 24 và 36

Lời giải:

Phân tích các số thành thừa số nguyên tố: 

24=2³×3

36 = 2² × 3²

Chọn các thừa số chung có số mũ nhỏ nhất: ƯCLN(24,36)=2²×3=12.

Vậy, ƯCLN của 24 và 36 là 12.

Bài 2: Cho a = 123456789; b = 987654321.

Tìm ƯCLN của (a; b)

Lời giải:

Ta có: a⋮9, b⋮9 (vì tổng các chữ số của nó chia hết 9)

Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu ƯC (a; b) = d thì 9⋮d

Vậy mọi ƯC của a, b đều là ƯC của 9 hay 9 = ƯCLN (a; b)

Bài 3: Cho 3 số sau: a = 50, b = 60, c = 75. Hãy tìm ƯCLN của (a, b, c)

Ta có: 

50 = 2.5²

60 = 2².3.5;

75 = 3.5² 

=> ƯCLN(50, 60, 75) = 5

Dạng 2: Tìm ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện: 72 chia hết cho x, 120 chia hết cho và 10<x<50.

Lời giải: 

Số tự nhiên x thỏa mãn 72 chia hết cho x và 120 chia hết cho x nên x ∈ ƯCLN (72,120).

72 = 2³ × 3²

120 = 2³×3×5

ƯCLN (72,120) = 2³ ×3¹ = 24.

Ư(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}.

Vì 10<x<50 x∈ {12,24}.

Vậy các giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán là x=12 và x=24.

Bài 2: Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN (a, b) = 4, a.b = 672.

Lời giải:

Ta có ƯCLN(a, b) = 4 

+ a = 4k

+ b=4m

=> ƯCLN(k,m)=1 

Giả sử a>b, tức là k>m. Ta có phương trình: 

a×b = 672 ⇒ 4k × 4m = 672 ⇒ 16km = 672.

=> k/m= 672/16 ​= 42.

Vậy ta cần tìm các cặp k và m sao cho k.m=42 và ƯCLN(k, m)=1.