Số nguyên tố là gì? Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Tổng hợp những kiến thức nâng cao về số nguyên tố cùng với phương pháp phân tích một số thành các thừa số nguyên tố. Hãy cùng thầy Phú toploigiai khám phá và tìm hiểu những kiến thức bổ ích qua bài viết chi tiết dưới đây!

1. Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố hay còn gọi là hợp số, đây là tập hợp số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Có thể hiểu một cách đơn giản, với một số tự nhiên lớn hơn 1, nếu ngoài chữ số 1 và bản thân chính số đó thì nó không chia hết cho số nào khác nữa. 

Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29,…đều được gọi là số nguyên tố. 

Chú ý: Có 2 trường hợp không được xét là nguyên tố đó chính là số 0 và số 1.

*Những lưu ý về số nguyên tố

– Số nguyên tố nhỏ nhất và có 1 chữ số: 2

– Số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số: 11

– Số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số: 101

– Số nguyên tố lớn nhất có 2 chữ số: 97

– Số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ: 997

2. Các tính chất đặc trưng của số nguyên tố

- Là số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.

- Không thể giới hạn số lượng số nguyên tố cũng như tập hợp các số nguyên tố. Nói cách khác, số nguyên tố là vô hạn.

- Khi hai số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không thể là một số chính phương.

Ví dụ: 2 x 3 = 6 (6 không là một số chính phương)

- Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.

- Ước nhỏ nhất là một số dương khác 1 của một tập hợp số b bất kỳ là một số nguyên tố nếu không vượt quá căn bậc hai của b.

Ví dụ: 29 là một số nguyên tố

- Giải thích: √29 ≈ 5.39
Vì 29 không chia hết cho 2, 3, 5 và không có ước nào nhỏ hơn hoặc bằng √29 => 29 là một số nguyên tố

3. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Khái niệm: Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Lưu ý: Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.

Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Muốn phân tích một số tự nhiên a lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau:

- Bước 1: Kiểm tra xem 2 có phải là ước của a hay không. Nếu không ta sẽ xét số nguyên tố 3 và cứ như thế đối với các số nguyên tố lớn dần.

- Bước 2: Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a, ta chia a cho p được thương b.

- Bước 3: Tiếp tục thực hiện quy trình trên đối với b.

- Bước 4: Thực hiện quá trình trên cho đến khi ta được thương là một số nguyên tố.

Lưu ý: Dù phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cũng được cùng một kết quả.

Ví dụ cụ thể: Phân tích số 180 ra thừa số nguyên tố.

- Bước 1: Bắt đầu với số nguyên tố nhỏ nhất là 2.

180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45

45 không chia hết cho 2, ta chuyển sang số nguyên tố tiếp theo.

- Bước 2: Kiểm tra với 3

45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5

5 là số nguyên tố, không chia hết cho 3 => Kết quả phân tích thừa số nguyên tố của 180 là: 180 = 2² × 3² × 5

Ví dụ:

Phân tích số 140 ra thừa số nguyên tố như sau:

Từ đó ta có: 140 = 2².5.7

4. Cách tính số lượng các ước của một số m (m>1)

Ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:

- Nếu m = a^x thì m có x + 1 ước.

- Nếu m = a^x . b^y thì m có (x + 1) (y + 1) ước.

- Nếu m = a^x . b^y . c^z thì m có (x + 1) (y + 1) (z + 1) ước.

Ví dụ cụ thể:  

- Số 32 = 2⁵ nên số 32 có 5 + 1 = 6 ước

 - Số 63 = 3² . 7 nên số 63 có ( 2+1).( 1+1) = 6 ước

- Số 60 = 2² . 3. 5 nên số 60 có ( 2+1).( 1+1).( 1+1) = 12 ước

5. Một số bài tập vận dụng

Câu 1: Phân tích số 20 ra thừa số nguyên tố

A. 20 = 20.1     B. 20 = 10 + 10     C. 20 = 2².5    D. 20 = 4+5+11

Lời giải:

   + Đáp án A sai vì 1 không phải là số nguyên tố

   + Đáp án B sai vì đây là phép cộng.

   + Đáp án C đúng vì 2 và 5 là hai số nguyên tố nên 20 = 2².5

   + Đáp án D sai vì đây là phép cộng

Chọn đáp án C.

Câu 2: Cho a = 2².7, hãy viết tập hợp tất cả các ước của a

A. Ư(a) = {4; 7}     B. Ư(a) = {1; 4; 7}

C. Ư(a) = {1; 2; 4; 7; 28}     D. Ư(a) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

Lời giải:

Ta có: a = 22.7 = 4.7 = 28

28 = 28.1 = 14.2 = 7.4 = 7.2.2

Vậy Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

Chọn đáp án D.

Câu 3: Cho x²⋅y⋅5=120, với x và y là các số nguyên tố, vậy giá trị của x là bao nhiêu?

A. 2
B. 3
C. 5
D. 7

Lời giải:

Ta có x²⋅y⋅5=120 ⇒ x²⋅y= 24 = 2³.3

Vậy giá trị của x là 2

Chọn đáp án A

Câu 4: Cho số 150 = 2.3.5², số lượng ước của 150 là bao nhiêu?

A. 6     B. 7     C. 8     D. 12

Lời giải:

Nếu m = axbycz, với a, b, c là số nguyên tố thì m có (x + 1)(y + 1)(z + 1) ước.

Ta có 150 = 2.3.5² với x = 1; y = 1; z = 2

Vậy số lượng ước số của 150 là (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 12 ước.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Trong các số tự nhiên sau, số có ước nhiều nhất là:

A. 960

B. 780

C. 640

D. 504

Lời giải:

Nếu một số m=a^xb^yc^z, với a,b,c là các số nguyên tố, thì số ước của m là (x+1)(y+1)(z+1).

960=2⁶×3×5 có (6+1)(1+1)(1+1) = 7×2×2 = 28 ước

780=2²×3×5×13 có (2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 24 ước

640=2⁷×5 có (7+1)(1+1) = 8×2 = 16 ước

504 = 2³ × 3² × 7 có (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2= 24 ước

Số tự nhiên có ước nhiều nhất là 960

Chọn đáp án A.