Phát biểu quy tắc cộng, trừ, nhân hai số nguyên

Câu hỏi: Phát biểu quy tắc cộng, trừ, nhân hai số nguyên

Trả lời:

Quy tắc cộng hai số nguyên

- Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu - trước kết quả.

- Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:

Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0

Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

 Quy tắc trừ hai số nguyên

- Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

Quy tắc nhân hai số nguyên

- Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu:

Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu – trước kết quả nhận được.

- Quy tắc nhân hai số nguyên âm:

Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân hai giả trị tuyệt đối của chúng

Cùng Top lời giải đi tìm hiểu về số nguyên nhé.

I. Số nguyên là gì? 

1. Khái niệm:

Trong Toán học số nguyên bao gồm các số nguyên dương, các số nguyên âm và số 0. Hay còn nói cách khác số nguyên là tập hợp bao gồm số không, số tự nhiên dương và các số đối của chúng còn gọi là số tự nhiên âm.  Tập hợp số nguyên là vô hạn nhưng có thể đếm được và số nguyên được kí hiệu là Z.

2. Số nguyên âm, số nguyên dương

Số nguyên được chia làm 2 loại là số nguyên âm và số nguyên dương. Vậy số nguyên dương là gì? Số nguyên âm là gì? Ta có thể hiểu số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0 và có ký hiệu là Z+. Còn số nguyên âm là các số nguyên nhỏ hơn 0 và có ký  hiệu là Z-.

Lưu ý: Tập hợp các số nguyên dương hay số nguyên âm không bao gồm số 0.

3. Ví dụ:

Số nguyên dương: 1, 2, 3, 4, 5, 6….

Số nguyên âm: -1, -2, -3, -4, -5….

4. Tính chất:

Số nguyên bao gồm 4 tính chất cơ bản là:

- Không có số nguyên nào là lớn nhất và không có số nguyên nào nhỏ nhất.

- Số nguyên dương nhỏ nhất là 1 và số nguyên âm nhỏ nhất là -1.

- Số nguyên Z có tập hợp con hữu hạn luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.

- Không có số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

II. Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số nguyên âm, nguyên dương

1. Quy tắc cộng hai số nguyên

a. Quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu

Cộng hai số nguyên cùng dấu: ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu chung trước kết quả.

Vi dụ: 

30 + 30=60

(-60) + (-60) = (-120)

b. Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu

Cộng hai số nguyên khác dấu: ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Ví dụ: 

(-9) + 5 = 4

2. Quy tắc trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a – b = a + (-b)

Ví dụ: 4 - 9 = 4 + (-9) = 5

3. Quy tắc nhân hai số nguyên

– Nhân hai số nguyên cùng dấu: ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng.

Ví dụ : 5 . (-4) = -20

– Nhân hai số nguyên khác dấu: ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-” trước kết quả nhận được.

Ví dụ :(-5) . (-4) = -20

– Chú ý:

+ a . 0 = 0

+ Cách nhận biết dấu của tích: (+) . (+) → (+)

(-) . (-) → (+)

(+) . (-) → (-)

(-) . (+) → (-)

+ a. b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0

+ Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu. Khi đổi dấu hai thừa số thì tích không thay đổi.

4. Quy tắc chia hai số nguyên

• Nếu cả số chia và số bị chia là số nguyên dương thì thương của chúng sẽ là là số dương

Ví dụ: 12 : 4 = 3

• Nếu cả số chia và số bị chia là số nguyên âm thì thương của chúng sẽ là là số dương

Ví dụ: (-15) : (-5) = 3

• Phép chia của một số nguyên dương và một số nguyên âm kết quả đều là số âm

Ví dụ: 10 : (-2) = (-5)

5. Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-” đằng trước, ta phải đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc: dấu “+” thành dấu “-” và dấu “-” thành dấu “+”.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

6. Quy tắc chuyển vế đổi dấu

Nếu chuyển vế một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức thì phải phải đổi dấu số hạng đó: dấu "-" chuyển thành "+" và dấu "+" chuyển thành "-".

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Thực hiện phép trừ

a/ (a – 1) – (a – 3)

b/ (2 + b) – (b + 1) Với a, b ∈Z∈Z

Hướng dẫn

a/ (a – 1) – (a – 3) = (a – 1) + (3 - a) = [a + (-a)] +  [(-1) + 3] = 2

b/ Thực hiện tương tự ta được kết quả bằng 1.

Bài 2: Rút gọn biểu thức

a/ x + (-30) – [95 + (-40) + (-30)]

b/ a + (273 – 120) – (270 – 120)

c/ b – (294 +130) + (94 + 130)

Hướng dẫn

a/ x + (-30) – 95 – (-40) – 5 – (-30)

= x + (-30) – 95 + 40 – 5 + 30

= x + (-30) + (-30) + (- 100) + 70 = x + (- 60).

b/ a + 273 + (- 120) – 270 – (-120)

= a + 273 + (-270) + (-120) + 120 = a + 3

c/ b – 294 – 130 + 94 +130

= b – 200 = b + (-200)

Bài 3: So sánh P với Q biết:

P = a {(a – 3) – [( a + 3) – (- a – 2)]}.

Q = [ a + (a + 3)] – [( a + 2) – (a – 2)].

Hướng dẫn

P = a – {(a – 3) – [(a + 3) – (- a – 2)]

   = a – {a – 3 – [a + 3 + a + 2]} = a – {a – 3 – a – 3 – a – 2}

   = a – {- a – 8} = a + a + 8 = 2a + 8.

Q = [a+ (a + 3)] – [a + 2 – (a – 2)]

    = [a + a + 3] – [a + 2 – a + 2] = 2a + 3 – 4 = 2a – 1

Xét hiệu P – Q = (2a + 8) – (2a – 1) = 2a + 8 – 2a + 1 = 9 > 0

Vậy P > Q

Bài 4: Tính tổng các số nguyên âm lớn nhất có 1 chữ số, có 2 chữ số và có 3 chữ số.

Hướng dẫn

 (-1) + (-10) + (-100) = -111

Bài 5: Tính các tổng đại số sau:

a/ S₁ = 2 -4 + 6 – 8 + … + 1998 - 2000

b/ S₂  = 2 – 4 – 6 + 8 + 10- 12 – 14 + 16 + … + 1994 – 1996 – 1998 + 2000

Hướng dẫn

a/ S₁ = 2 + (-4 + 6) + ( – 8 + 10) +  … + (-1996 + 1998) – 2000

= (2 + 2 + … + 2) – 2000 = -1000

Cách 2:

S1 = ( 2 + 4 + 6 + … + 1998) – (4 + 8 + … + 2000)

= (1998 + 2).50 : 2 – (2000 + 4).500 : 2 = -1000

b/ S₂ =  (2 – 4 – 6 + 8) + (10- 12 – 14 + 16) + … + (1994 – 1996 – 1998 + 2000)

= 0 + 0 + … + 0 = 0

Bài 6: Tính:

a/ 11 - 12 + 13 – 14 + 15 – 16 + 17 – 18 + 19 – 20

b/ 101 – 102 – (-103) – 104 – (-105) – 106 – (-107) – 108 – (-109) – 110

Hướng dẫn

a/ 11 - 12 + 13 – 14 + 15 – 16 + 17 – 18 + 19 – 20

= [11 + (-12)] + [13 + (-14)] + [15 + (-16)] + [17 + (-18)] + [19 + (-20)]

= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5

b/ 101 – 102 – (-103) – 104 – (-105) – 106 – (-107) – 108 – (-109) – 110

= 101 – 102 + 103 – 104 + 105 – 106 + 107 – 108 + 109 – 110

= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5

Bài 7: Tìm x biết

a/ |x + 3| = 15

b/ |x – 7| + 13 = 25

c/ |x – 3| - 16 = -4

d/ 26 - |x + 9| = -13

Hướng dẫn

a/ |x + 3| = 15 nên x + 3 = ±15

• x + 3 = 15 ⇒⇒ x = 12

• x + 3 = - 15 ⇒⇒ x = -18

b/ |x – 7| + 13 = 25 nên x – 7 = ±12

• x = 19

• x = -5

c/ |x – 3| - 16 = -4

|x – 3|  = -4 + 16

|x – 3|  = 12

x – 3 = ±12

• x - 3 = 12 ⇒⇒ x = 15

• x - 3 = -12 ⇒⇒ x = -9

d/ Tương tự ta tìm được x = 30 ; x = -48

Bài 8: Tính nhanh.

a) [128 + (-78) + 100] + (-128)

b) 125 + [(-100) + 93] + (-218)

c) [453 + 74 + (-79)] + (-527)

Bài 9: Tìm các số nguyên x, biết.

a) 484 + x = -363 – (-548)

b) |x + 9| = 12

c) |2x + 9| = 15

d) 25 – |3 – x| = 10

Bài 10: Bỏ dấu ngoặc rồi tính.

a) (123 – 27) + (27 + 13 – 123)

b) (175 + 25 + 13) – (-15 + 175 + 25)

c) (2012 – 119 + 29) – (-119 + 29)

d) – (55 – 80 + 91) – (2012 + 80 – 91)

Bài 11: Cho x, y là các số nguyên.

a) Tìm GTNN của A = |x + 2| + 50

b) Tím GTNN của B = |x – 100| + |y + 200| – 1

c) Tìm GTLN của 2015 – |x + 5+|

Bài 12:

a) Tìm các số nguyên x sao cho (x – 5) là ước của 6.

b) Tìm các số nguyên x sao cho (x – 1) là ước của 15.

c) Tìm các số nguyên x sao cho (x + 6) chia hết cho (x + 1)

Bài 13: Tính tổng : S = 1 – 2 + 3 – 4 + … + 99 – 100.