Tổng hợp dao đông điều hòa

Dao động điều hòa cũng là một loại dao động tuần hoàn đơn giản, có li độ (x) là hàm sin hoặc hàm cosin (hàm số lượng giác). Tổng hợp kiến thức về dao động điều hòa được chúng tôi tóm tắt chi tiết trong bài biết dưới đây.

Khái niệm dao động

- Dao động cơ: là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng ( vị trí hợp lực tác dụng lên vật bằng không). 

VD: chuyển động đung đưa của chiếc lá,...

- Dao động tuần hoàn: là dao động cơ mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ. Khi vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ thì vật thực hiện được một dao động toàn phần. Thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần là một chu kỳ T. Số dao động toàn phần vật thực hiện được trong 1s là tần số f.

- VD: dao động của con lắc đồng hồ. Vị trí B: là vị trí cân bằng của con lắc.

+ Quá trình từ B → C → B: vật trở về cùng một vị trí nhưng không cùng chiều nên không phải là một dao động toàn phần.

+ Quá trình B → C → B → A → B: là một dao động toàn phần.

Dao động điều hòa: là dao động trong đó li đô (vị trí) của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian.

Phương trình dao động điều hòa.

Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng từ -A đến A luôn có thể coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω, trên đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó.

CM:

Giả sử t = 0 vật ở vị trí M0 được xác đinh bằng góc φ

Tại thời điểm t vị trí của M là (ωt + φ)

Khi đó hình chiều P của M có tọa độ :

x = A cos⁡(ωt + φ)

Phương trình trên được gọi là phương trình của dao động điều hòa.

Trong đó:

x: Li độ của vật.

A: Biên độ của vật ( giá trị lớn nhất của li độ).

ω: tốc độ góc trong chuyển động tròn đều hay tần số góc trong dao động điều hòa.

ωt + φ: pha dao động tại thời điểm t.

φ: pha ban đầu ( pha dao động tại thời điểm ban đầu).

Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà :x = A cos(ωt+ φ)

1. Biên độ A (cm, dm,mm, m.....)

+ Ý nghĩa: Là li độ cực đại

+ Công thức: A = xmax = A = lqd2 = ST4 

+ Đặc điểm: A>0

                     Phụ thuộc vào cách kích thích dao động

2. Tần số góc ω(rad/s) (tần số)

+ Ý nghĩa : Đặc trưng cho khả năng thực hiện dao động nhanh hay chậm (ví dụ 4Hz và 2Hz)

+ Công thức: ω = 2πf = 2πω  (Con lắc lò xo ω=km−−√: , con lắc đơn:ω=gl−−√  )

+ Đặc điểm: ω>0

3. Pha dao động: (ωt+ φ) _ rad

+ Ý nghĩa: Pha dao động (ωt+ φ) tại thời điểm t: Xác định trạng thái dao động tại thời điểm đó

                  Pha ban đầu φ (Pha tại thời điểm t = 0): Xác định trạng thái tại thời điểm ban đầu

+ Đặc điểm:

- Giới hạn:  -π< φ ≤ π  (phụ thuộc vào điều kiện ban đầu)

- Có hai dao động x1 = A1 cos(ωt+φ1) và x2 = A2 cos(ωt+φ2)

                   => Δφ = φ2 -  φ1  (Độ lệch pha của hai dao động)

Δφ = 2kπ (số chẵn lần π): hai dao động cùng phax1A1=x2A2

Δφ = π+2kπ (số lẻ lần π): hai dao động ngược phax1A1=−x2A2

Δφ = π2+2kπ : hai dao động vuông pha (sin2φ +cos2φ = 1) x21A21+x22A22=1

-π < Δφ <π: Δφ>0(tức j2> j­1): 2 sớm pha hơn 1

Δφ<0(tức φ2<φ1  ): 2 trễ pha hơn 1

Các đại lượng của dao động điều hoà :x = A cos(ωt+φ)

1. Li độ của dao động điều hòa:

-   Phân biệt : Li độ và tọa độ: 

Li độ là tọa độ trong hệ trục tọa độ gốc tọa độ tại vị trí cân bằng                 

-  Phương trình li độ của dao động điều hòa:

                  x = Acos(ωt+ φ)

-  Mô tả:

 + khi đi từ cân bằng ra biên thì: |x| tăng và ngược lại

- Đồ thị: Đồ thị của toạ độ theo thời gian là đường hình sin

- Quỹ đạo của dao động điều hòa là một đoạn thẳng

2. Vận tốc của dao động điều hòa:

- Biểu thức theo thời gian: v = - ωA sin(ωt+φ) = ωA cos(ωt+φ+π2) 

(Trong đó ωA là biên độ của vận tốc, φ+ π2 là pha của vận tốc )

 - So sánh với li độ : vận tốc biến thiên điều hòa, cùng tần số, sớm pha hơn x : π2 (vuông pha với x)

- Biểu thức liên hệ với li độ:x2A2+v2v2max=1 <=>x2A2+v2ω2.A2=1 <=>x2+v2ω2=A2

- Đồ thị của vận tốc theo thời gian là đường hình sin . Vận tốc theo li độ là một đoạn thẳng

- Mô tả định tính biến thiên của vận tốc:

+ Chiều của vận tốc: Luôn cùng chiều chuyển động

+ Khi chuyển động từ biên về vị trí cân bằng (|x|¯=> |v|­): Tốc độ tăng

+ Tại vị trí cân bằng (x = 0=> |v|max = ωA ): Tốc độ lớn nhất (Vận tốc có thể cực đại hoặc cực tiểu)

+ Tại vị trí biên: vận tốc bằng không (Tốc độ nhỏ nhất)

3. Gia tốc của dao động điều hòa:

- Biểu thức theo thời gian: a = - ω2 A cos(ωt+ φ) = ω2 A cos(ωt+φ+π)

(Trong đó  ω2A là biên độ, φ+π là pha của gia tốc )

- So sánh

+ Với li độ : Gia tốc biến thiên điều hòa cùng tần số, ngược pha với li độ

+ Với vận tốc: Gia tốc biến thiên điều hòa cùng tần số, sớm pha π2 so với vận tốc (vuông pha với vận tốc)

- Biểu thức: 

+ Liên hệ với li độ: a = -ω2x

+ Liên hệ với vận tốc :  a2amax2+v2v2max=1<=>v2ω2.A2+a2ω4.A2=1

- Đồ thị của gia tốc theo thời gian là đường hình sin;  theo li độ là một đoạn thẳng; theo vận tốc là một elíp

- Mô tả định tính biến thiên của gia tốc:

+ Chiều của vec tơ gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng

+ Khi chuyển động từ biên về vị trí cân bằng chuyển động nhanh dần

+ Tại vị trí cân bằng (x =0=>a = 0) gia tốc bằng không

+ Tại vị trí biên gia tốc có độ lớn cực đại  (|x|= A => |a|max = ω2A)

¨Chú ý: Dao động điều hòa không là chuyển động thẳng biến đổi đều (vì a không phải là hằng số)

4. Lực  gây dao động điều hoà

- Biểu thức: F= - k.x = m.a

 So sánh : Biến thiên giống hệt gia tốc

       + Với li độ : Lực biến thiên điều hòa, cùng tần số, ngược pha với x 

Công thức, cách giải bài tập Tổng hợp dao động điều hòa 

1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc-tơ quay

Xét một véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O, có đặc điểm:

• Độ dài vec tơ bằng A.

• Tốc độ quay ω.

• Ban đầu hợp với trục Ox góc φ.

Khi đó, hình chiếu P của ngọn véc tơ xuống trục Ox biểu diễn một dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ).

2. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

Khi vật tham gia đồng thời nhiều dao động cùng tần số thì dao động của vật là dao động tổng hợp. Giả sử một vật tham gia đồng thời hai dao động :

x1 = A1cos(ωt + φ1)

x2 = A2cos(ωt + φ2)

Khi đó dao động tổng hợp có dạng x = Acos(ωt + φ). Hai cách tính :

• Nếu cùng biên độ thì cộng lượng giác x = x1 + x2 (ít gặp).

• Nếu biên độ khác nhau thì nên sử dụng biểu diễn véc tơ quay để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:

Phương pháp véc tơ quay:

A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(φ2 – φ1)

Nếu véc tơ :

• Cùng pha ⇒Amax = A1 + A2, φ = φ1 = φ2.

• Ngược pha ⇒Amin = |A1 – A2|. Nếu A1 > A2 ⇒φ = φ1; nếu A1 < A2 ⇒ φ = φ2.

• Vuông pha ⇒ A2 = A12 + A22.

• Khi A1 và A2 xác định, φ1 và φ2 chưa biết, ta luôn có |A1 – A2| ≤ A ≤ |A1 + A2|

3. Sử dụng máy tính giải bài toán tổng hợp phương trình dao động

4. Ví dụ

Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa x1 = 3cos(4πt + π/6) cm và x2 = 3cos(4πt + π/2) cm. Hãy xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên?

A. x = 3√3cos(4πt + π/6) cm          

B. x = 3√3cos(4πt + π/3) cm

C. x = 3√3cos(4πt + π/3) cm          

D. x = 3cos(4πt + π/3) cm

Hướng dẫn:

Ta có: dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ) cm

Trong đó:

Phương trình dao động cần tìm là x = 3√3cos(4πt + π/3) cm

Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 3 cm và 5 cm. Trong các giá trị sau giá trị nào không thể là biên độ của dao động tổng hợp.

A. 4 cm          

B. 5 cm         

C. 3cm         

 D. 10 cm

Hướng dẫn:

Ta có: |A1 - A2 | ≤ A ≤ A1 + A2

⇒ 2 cm ≤ A ≤ 8 cm

Ví dụ 3: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1 = 4cos(6πt + π/3); x2 = cos(6πt + π) cm. Hãy xác định vận tốc cực đại mà dao động có thể đạt được.

A. 54π cm/s          

B. 6π cm/s          

C. 45cm/s          

D. 9π cm/s

Hướng dẫn:

Ta có: Vmax = A.ω ⇒ Vmax khi Amax Với Amax = 9 cm khi hai dao động cùng pha

⇒ Vmax = 9.6π = 54π cm/s.