Tính chất trực tâm của tam giác

Câu hỏi: Tính chất trực tâm của tam giác

Lời giải:

Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác.

Ta có tính chất: "Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại".

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó.

Tính chất:

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về trực tâm của tam giác nhé:

1. Khái niệm Trực tâm

Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

2. Cách xác định trực tâm của một số dạng hình học

Đối với mỗi loại tam giác sẽ có cách xác định trực tâm khác nhau:

Tam giác nhọn thì trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó. Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Tam giác vuông thì trực tâm chính là đỉnh góc vuông. Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

Tam giác tù thì trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó. Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.

3. Bài tập về đường trực tâm tam giác

Bài 1:

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Bài làm

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

Bài làm

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC

Vậy CH vuông góc với AB.

Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

   a) Chứng minh: JT⊥EF

   b) Chứng minh:  IE⊥JE

   c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

   d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

   Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.

Bài làm

a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

Vậy IJ là đường trung trực của EF

 

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng

Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.