Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Câu hỏi: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Lời giải:

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC

Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về trung trực nhé:

1. Đường trung trực là gì ?

Trong hình học phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

2. Đường trung trực của tam giác

• Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Ví dụ: a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

• Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

3. Cách vẽ đường trung trực của tam giác

- Bằng compa:

Quay 2 đường tròn có tâm là 2 đầu đoạn thẳng, bán kính bằng độ dài đoạn thẳng (hoặc ít nhất là lớn hơn nửa độ dài đoạn thẳng). Đường trung trực là đường nối giao điểm hai đường tròn này. 

- Bằng thước và eke:

Kẻ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng cần vẽ đường trung trực tại trung điểm của nó.

4. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

- Phương pháp:

Để chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.

- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp:

Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp:

Ta chú ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền

5. Ví dụ bài tập

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?

Hướng dẫn:

Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:

EA = EB = EC

Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:

Ví dụ 2: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC

B. ME = MD

C. DM = MB

D. M không thuộc đường trung trực của DE

Hướng dẫn:

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra BM = MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A.

Xét ΔBCE có M là trung điểm của BC (gt) suy ra EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Xét ΔBCD có M là trung điểm của BC (gt) suy ra DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?

Hướng dẫn:

Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB

Suy ra, tam giác ADB cân tại D.

Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC

Suy ra, tam giác AEC cân tại E.