Tính chất 3 đường trung trực của tam giác

1. Đường trung trực của tam giác

• Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Ví dụ: a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

• Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC

Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

3. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 2: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp:

Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 3: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp:

Ta chú ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền

4. Ví dụ bài tập có lời giải

Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C

Lời giải:

Điểm O cách đều hai điểm A, B suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của AB

Điểm O cách đều hai điểm B, C suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của BC

Điểm O cách đều hai điểm A, C suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của AC

Do đó: điểm O cách đều ba điểm A, B, C thì O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có A^ là góc tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại P và E. Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ

Lời giải:

Ta có O là điểm thuộc trung trực của đoạn AB nên OA = OB

Lại có O thuộc đường trung trực của đoạn AC nên OA = OC

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC

Vậy đường tròn (O, OA) đi qua các điểm A, B, C

Bài 3: Cho tam giác ABC có đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác của tam giác ABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABK

Theo đề bài, O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC

Vậy OA = OB = OC và các tam giác AOB, AOC, BOC đều là các tam giác đều tại đỉnh O

Gọi

Vì AK là đường phân giác của góc BAC nên nếu ∠KAB = 2a thì ∠BAC = 4a

Ta có: ΔAOB = ΔCOB ⇒ AB = CB

Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh B

⇒ ∠BAC = ∠BCA

Khi đó ta có:

2a + 4a + 4a = 180° ⇒ 10a = 180° ⇒ a = 18°

Vậy số đo cách góc của tam giác ABC là ∠A = ∠C  = 72°, 

∠C = 36°

Bài 4: Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC, lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh O cũng là gia điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.

Lời giải:

Theo giả thiết O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: OA = OB = OC.

⇒ Các tam giác AOM, BON, COP có:

AM = BN = CP (gt)

∠A1 = ∠B1 = ∠C1 = 30^o

(vì ABC là tam giác đều nên đường trung trực cũng là đường phân giác)

OA = OB = OC

Do đó: ΔAOM = ΔBON = ΔCOP (c-g-c)

⇒ OM = ON = OP

Hay O là giao điểm của ba đường trung trực tam giác MNP