Cách tìm nghiệm của đa thức

Hướng dẫn Cách tìm nghiệm của đa thức hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 7, giúp các em ôn tập tốt hơn.

1. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm của đa thức P(x).

2. Các chú ý khi làm bài tập tìm nghiệm của đa thức một biến

*) Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, … hoặc không có nghiệm nào (vô nghiệm)

*) Một đa thức (khác đa thức 0) có số nghiệm không vượt quá bậc của nó

*) Tìm nghiệm của đa thức P(x), ta cho P(x) = 0 rồi giải tìm x, các giá trị của x tìm được là nghiệm của đa thức P(x).

3. Ví dụ 

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 4

Giải: P(x) = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x =2

Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức P(x).

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm: Q(y) = y² + 1

Giải: Nhận xét rằng: Q(y) = y² + 1 ≥ 0 + 1 > 0 => Q(y) không có nghiệm

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm các thông tin liên quan nhé:

4. Bài tập

Bài 1: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm

a) P(x) = x² + 1                             b) Q(y) = 2y⁴ + 5

Hướng dẫn giải:

a) Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1

Do đó: P(x) = x² + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm.

b) Vì y⁴ ≥ 0 nên 2y⁴ + 5 > 0

Do đó: Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm.

Bài 2: Tìm nghiệm của đa thức

a) x² - 2003x - 2004 = 0

b) 2005x² - 2004x - 1 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004

Khi đó ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0

Nên đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1

b) Đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1

Khi đó ta có: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0

Nên đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.

Bài tập trắc nghiệm:

Bài 1: Cho đa thức f(x) = 2x² + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:

A. -9                B. 1                C. -1                D. -4

Lời giải

f(-9) = 2.(-9)² + 12.(-9) + 10 = 64 ≠ 0 ⇒ x = -9 không là nghiệm của f(x)

f(1) = 2.(1)² + 12.(1) + 10 = 24 ≠ 0 ⇒ x = 1 không là nghiệm của f(x)

f(-1) = 2.(-1)² + 12.(-1) + 10 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của f(x)

f(-4) = 2.(-4)² + 12.(-4) + 10 = -6 ≠ 0 ⇒ x = -4 không là nghiệm của f(x)

Chọn đáp án C

Bài 2: Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = x² + x - 2

A. x = 1; x = -2

B. x = 0; x = -1; x = -2

C. x = 1; x = 2

D. x = 1; x = -2; x = 2

Lời giải

P(0) = 0² + 0 - 2 = -2 ≠ 0 ⇒ x = 0 không phải là nghiệm của P(x)

P(-1) = (-1)² + 1.(-1) - 2 = -2 ≠ 0 ⇒ x = -1 không là nghiệm của P(x)

P(1) = 1² + 1.1 - 2 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của P(x)

P(2) = 2² + 1.2 - 2 = 4 ≠ 0 ⇒ x = 2 không là nghiệm của P(x)

P(-2) = (-2)² + 1.(-2) - 2 = 0 ⇒ x = -2 không là nghiệm của P(x)

vậy x = 1; x = -2 là nghiệm của P(x)

Chọn đáp án A

Bài 3: Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x + 14)(x - 4) là:

A. {4; 14}                B. {-4; 14}                 C. {-4; -14}                 D. {4; -14}

Lời giải

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; -14}

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho đa thức sau f(x) = x² + 5x - 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:

A. 2 và 3            B. 1 và - 6            C. -3 và -6             D. -3 và 8

Lời giải

Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và -6

Chọn đáp án B

Bài 5: Tổng các nghiệm của đa thức x² - 16 là:

A. -16            B. 8            C. 4            D. 0

Lời giải

Vậy x = 4; x = -4 là nghiệm của đa thức x² - 16

Tổng các nghiệm là 4 + (-4) = 0

Chọn đáp án D

Bài 6: Số nghiệm của đa thức x³ + 27 là:

A. 1            B. 2            C. 0            D. 3

Lời giải

Ta có x³ + 27 = 0 ⇒ x³ = -27 ⇒ x³ = (-3)³ ⇒ x = -3

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm x = -3

Chọn đáp án A.

Bài 7: Số nào sau đây là nghiệm của đa thức M(x) = x² - 18x + 81

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Lời giải

M(6) = 6² – 18.6 + 81 = 36 – 108 + 81 ≠ 0

⇒ 6 không phải là nghiệm của đa thức M(x)

M(7) = 7² – 18.7 + 81 = 49 -126 + 81 = 4 ≠ 0

⇒ 7 không phải là nghiệm của đa thức M(x)

M(8) = 8² – 18.8 + 81 = 64 – 144 + 81 = 1 ≠ 0

⇒ 8 không phải là nghiệm của đa thức M(x)

M(9) = 9² – 18.9 + 81 = 81 – 162 + 81 = 0

⇒9 là nghiệm của đa thức M(x)

Chọn đáp án D

Bài 8: Hai số nào trong bốn số -1; -3; 1; 3 là nghiệm của đa thức H(x) = x² - 2x - 3

A. -1 và 1

B. -3 và 3

C. -1 và 3

D. 1 và -3

Lời giải

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho đa thức G(x) = x² + 5. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. G(x) không có nghiệm

B. G(x) có một nghiệm

C. G(x) có hai nghiệm

D. A, B, C đều sai

Lời giải

Vì x² ≥ 0 ⇒ x² + 5 ≥ 5 ≥ 0

Do đó đa thức G(x) = x² + 5 không có nghiệm.

Chọn đáp án A

Bài 10: Nghiệm của đa thức E(x) = (x² - 25).(x³ + 8) là

A. 5 và -5

B. 5; -5 và -2

C. 5; -5 và 2

D. -2 và 2

Lời giải

Vậy nghiệm của đa thức E(x) là 5; -5 và -2

Chọn đáp án B