Lý thuyết định lí Py-ta-go

1. Định lý Py-ta-go

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

ΔABC vuông tại A ⇒ BC² = AB² + AC²

2. Định lý Py-ta-go đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC có BC² = AB² + AC² , ∠BAC = 90^o

3. Ví dụ

Ví dụ: Nếu độ dài của hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì độ dài cạnh huyền thay đổi như thế nào?

Hướng dẫn giải:

Tương tự, khi độ dài cạnh góc vuông tăng lên 3 lần thì độ dài cạnh huyền cũng tăng lên 3 lần.

4. Bài tập có hướng dẫn giải

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH² - BH² = AC²

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Biết AB = 17 cm, BC = 16 cm. Tính AM.

Hướng dẫn giải:

5. Bài tập luyện tập

1. Tính độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông cân biết cạnh góc vuông bằng 2dm.

2. Tính độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân biết cạnh huyền bằng:

a) 2m ; 

b) √18 m.

3. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 52cm, độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông.

4. Cho tam giác ABC cân tại B, AB = 17cm, AC = 16cm. Gọi M là trung điểm của AC. Tính BM.

5. Tính các cạnh của một tam giác vuông biết tỉ số các cạnh góc vuông là 3 : 4, chu vi của tam giác bằng 36cm.

6. Tính độ dài x trên hình bên.

7. Tam giác ABC cân tại A có AB = 9cm, BC = 15cm. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng 4,9 < AD < 5cm.

8. Tìm số tự nhiên a cùng với các số 24 và 25 làm thành một độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

9.* Tam giác ABC có ∠A = 90º, ∠B = 30º, AB = 3cm. Tính các độ dài AC, BC.

10. Tính độ dài x trên hình dưới đây.

11. Tính độ dài x trên hình dưới đây.

12. Tính độ dài x trên các hình sau:

13.* Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC) Biết HB = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài AH.

14. Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, vẽ điểm A có tọa độ (3;5). Tính khoảng cách từ điểm A đến gốc tọa độ.

15. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, sẽ điểm A có tọa độ (1;1). Đường tròn tâm O với bán kinh Oa cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự B và C. Tìm tọa độ của các điểm B, C.

16. Tính độ dài của các đoạn thẳng AB, BC, CD, CD trên mặt phẳng tọa độ (Hình vẽ bên, với đơn vị là đơn vị dài của hệ trục tọa độ).

17. Bạn Mai vẽ tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 8cm, BC = 9cm rồi đo thấy ∠A = 90º và kết luận rằng tam giác ABC vuông. Điều đó có đúng không?

18. Chọn trong các số 5, 8, 9, 12, 13, 15 các bộ ba số có thể là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

19.* Cho hình vẽ bên , trong đó BC = 6cm, AD = 8cm. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

Đáp án Bài tập về định lí Py-ta-go

1.

Xét ΔABC vuông cân tại A.

BC² = 2² + 2² = 8 ⇒ BC = √8 ≈ 2,8 (dm)

2. 

a) Xét ΔABC vuông cân tại A.

AB² + AC² = BC² = 2² = 4 ⇒ 2AB² = 4 

⇒ AB² + AC² = BC² = 2² = 4 ⇒ 2AB² = 4

⇒ AB² = 2

⇒ AB = √2 ≈ 1,4 (m)

b) Đáp số : 3m.

3. Gọi a và b là độ dài các cạnh góc vuông (đơn vị xentimet).

4.

5. Gọi a và b là độ dài các cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền, đơn vị xentimet.

6. Tính BH, được BH = 9cm. Sau đó tính được x = 40.

7.

BD = 7,5cm.

AD² = 9² – 7,5² = 24,75

Ta thấy: 24,01 < 24,75 < 25, suy ra

4,9² < AD² < 5² ⇒ 4,9 < AD < 5. 

8.

– Trường hợp a là độ dài của cạnh góc vuông. Ta có:

a² + 24² = 25² ⇒ a² + 576 = 625 ⇒ a² = 49 = 7². Vậy a = 7.

– Trường hợp a là độ dài cạnh huyền, ta có:

a² = 24² + 25² = 576 + 625 = 1201

Ta thấy 34² = 1156 < 1201 < 1225 = 35² nên √1201 không phải là số tự nhiên. Loại trường hợp a là độ dài cạnh huyền.

Kết luận a = 7

9.

Ta chứng minh được: AC = 1/2BC 

Đặt AC = x thì BC = 2x. Ta có:

AC² + AB² = BC² ⇒ x² + 3² = (2x)²

⇒ x² + 9 = 4x² 

⇒ 3x² = 9

⇒ x² = 3 ⇒ x = √3 (cm)

BC = 2√3 (cm).

10.

Kẻ CH ⊥ AD 

Ta chứng minh được CH = AB

Lần lượt tính được HD = 5, CH = 12.

Vậy x = 12.

11.

Kẻ AH ⊥ BC. Ta tính được:

BH² + AH² = AB² ⇒ 2AH² = ( √18)²  = 18

⇒ AH² = 9 ⇒ AH = 3. 

HC = 7 – 3 = 4. Ta tính được: x = 5.

12. 

a) Kẻ AH ⊥ BC. Ta tính được BH = 2,5; 

AH² =AB² – BH² = 25 – 6,25 = 18,75

AC² = AH² + HC² = = 18,75² + 5,5² = 49.

Vậy AC = 7.

b) Kẻ AH ⊥ BC. Ta tính được BH = 1,5 ; 

AH² = AB² – BH² = 9 – 2,25 = 6,75

AC² = AH² + ² = 6,75² + 6,5² = 49

Vậy AC = 7.

13.

Đặt AH = x. Ta có: 

AB² = 9² + x² = 81 + x²

AC² = 16² + x² = 256 + x²

Suy ra: AB² + AC² = 337 + 2x²            (1)

Ta lại có:

AB² + AC² = BC² = 625                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  

2x² + 337 = 625. Từ đó x² = 144 = 12². Vậy AH = 12cm.

14. 

OA² = 3² + 5² = 34.

OA = √34 ≈ 5,8

15.

OB = OC = OA = √2

Vậy B(√2;0), C(0;√2)

16. AB² = 2² + 3² = 13 ⇒ AB = √13 ; BC = 5;

CD = √17 ; DA = √5

17. Góc A chỉ xấp xỉ 90º chứ không đúng bằng 90º. Thật vậy 

AB² + AC² = 4² + 8² = 80 ; BC² = 9² = 81.

AB² + AC² ≠ BC² . Vậy ∠A ≠ 90º

18. 

Ta thấy: 225 = 144 + 81 ⇒ 15² = 12² + 9²

169 = 144 + 25 ⇒ 13² = 12² + 5²

Bộ ba số 9, 12, 15 và bộ ba số 5, 12, 13 có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông.

19.

Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD ở E. Ta chứng minh được DE = AB = 3, BE = AD = 8.

Tam giác BCE có BC = 6, BE = 8, CE = 10 nên ta chứng minh được ∠CBE = 90º.