Đa thức một biến là gì? Cách giải đa thức một biến

1. Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

Lưu ý: Một số được coi là đa thức một biến.

• Một số được coi là một đa thức một biến.

• Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ 1: Đa thức 5x⁵ + 4x³ - 2x² + x là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là 5.

Ví dụ 2: Cho đa thức sau: 5x⁷ - 7x⁶ + 5x⁵ - 4x⁴ + 7x⁶ - 3x² + 1 - 5x⁷ - 3x⁵

Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thu gọn đa thức ta được:

Đa thức đã cho có bậc là 5.

2. Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ 1: Đối với đa thức P(x) = 6x + 3 - 6x² + x³ + 2x⁴

   + Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

P(x) = 2x⁴ + x³ - 6x² + 6x + 3

   + Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được:

P(x) = 3 + 6x - 6x² + x³ + 2x⁴

Nhận xét:

Mọi đa thức bậc 2 của biến x, sau khi đã sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa giảm của biến, đều có dạng: ax² + bx + c

Trong đó a, b, c là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý:

   + Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

   + Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 2 + 5x² - 3x³ + 4x - 2x - x³ + 6x⁵. Thu gọn và sắp xếp đa thức

P(x) = 2 + 5x² - 3x³ + 4x² - 2x - x³ + 6x⁵ = 6x⁵ + (-3x³ - x³) + (5x² + 4x²) - 2x + 2 = 6x⁵ - 4x³ + 9x² - 2x + 2

3. Hệ số, giá trị của một đa thức

a) Hệ số của đa thức

+) Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.

+) Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.

b) Giá trị của đa thức f(x) tại x=a được kí hiệu là f(a) có được bằng cách thay x=a vào đa thức f(x) rồi thu gọn lại.

Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x⁵ - x⁴ + 5x² - x + 2 là 6; -1; 5; -1; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

4. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Sắp xếp các hạng tử của đa thức

Phương pháp:

+ Viết đa thức đã cho dưới dạng thu gọn

+ Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng hay giảm của biến

Dạng 2: Xác định bậc của đa thức

Phương pháp:

+ Viết đa thức dưới dạng thu gọn

+ Trong dạng thu gọn, bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó

Dạng 3: Tìm các hệ số của một đa thức

Phương pháp:

+ Viết đa thức dưới dạng thu gọn

+ Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến

+ Từ đó, xác định được các hệ số từ lũy thừa 00(hệ số tự do) đến lũy thừa cao nhất của biến (hệ số cao nhất)

Dạng 4: Tính giá trị của đa thức

Phương pháp:

+ Thay giá trị của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính

Bài tập có lời giải

Bài 1: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

a) 2x³ - x⁵ + 3x⁴ + x² - (1/2)x³ + 3x⁵ - 2x² - x⁴ + 1

b) x⁷ - 3x⁴ + 2x³ - x² - x⁴ - x + x⁷ - x³ + 5

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x + x² + x³ + x⁴ + .... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ tại x = -1

b) x² + x⁴ + x⁶ + .... + x⁹⁸ + x¹⁰⁰ tại x = -1

Hướng dẫn giải: