Cách cộng trừ đa thức một biến

A. Lý thuyết

1. Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

Lưu ý: Một số được coi là đa thức một biến.

- Một số được coi là một đa thức một biến.

- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

2. Cách cộng trừ đa thức một biến         

Để cộng (hay trừ) các đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

• Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”

• Cách 2: Sắp xếp các hạng từ của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)

Ví dụ: Cho hai đa thức P(x) = x⁵ - 2x⁴ + x² - x + 1; Q(x) = 6 - 2x + 3x³ + x⁴ - 3x⁵. Tính P(x) - Q(x).

P(x) - Q(x) = (x⁵ - 2x⁴ + x² - x + 1) - (6 - 2x + 3x³ + x⁴ - 3x⁵)

= x⁵ - 2x⁴ + x² - x + 1 - 6 + 2x - 3x³ - x⁴ + 3x⁵

= 4x⁵ - 3x⁴ - 3x³ + x² + x⁵

3. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức

Phương pháp:

Ta có thể thực hiện phép cộng- trừ theo hàng ngang, hoặc hàng dọc

+ Có thể thực hiện phép trừ như sau:

Dạng 2: Viết một đa thức dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai đa thức

Phương pháp:

Ta có thể tách mỗi hệ số của đa thức đã cho thành tổng hoặc hiệu của hai số. Các hệ số này sẽ là hệ số của lũy thừa cùng bậc của hai đa thức phải tìm

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1: Tìm hai đa thức P(x) và Q(x) sao cho P(x) + Q(x) = x² + 1

A. P(x) = x²; Q(x) = x + 1

B. P(x) = x² + x; Q(x) = x + 1

C. P(x) = x²; Q(x) = -x + 1

D. P(x) = x² - x; Q(x) = x + 1

Ta có với P(x) = x² - x; Q(x) = x + 1

P(x) + Q(x) = x² - x + x + 1 = x² + 1

Chọn đáp án D

Bài 2: Cho f(x) = x⁵ - 3x⁴ + x² - 5 và g(x) = 2x⁴ + 7x³ - x² + 6. Tìm hiệu f(x) - g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

A. 11 + 2x² + 7x³ - 5x⁴ + x⁵

B. -11 + 2x² - 7x³ - 5x⁴ + x⁵

C. x⁵ - 5x⁴ - 7x³ + 2x² - 11

D. x⁵ - 5x⁴ - 7x³ + 2x² + 11

Ta có

Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được

-11 + 2x² - 7x³ - 5x⁴ + x⁵

Chọn đáp án B

Bài 3: Cho p(x) = 5x⁴ + 4x³ - 3x² + 2x - 1 và q(x) = -x⁴ + 2x³ - 3^x2 + 4x - 5

Tính p(x) + q(x) rồi tìm bậc của đa thức thu được

A. p(x) + q(x) = 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 6

B p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x + 6 có bậc là 4

C. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4

D. P(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ + 6x - 6 có bậc là 4

Ta có p(x) + q(x)

Bậc của đa thức p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4

Chọn đáp án C

Bài 4: Tìm đa thức h(x) biết f(x) - h(x) = g(x) biết

f(x) = x² + x + 1; g(x) = 4 - 2x³ + x⁴ + 7x⁵

A. h(x) = -7x⁵ - x⁴ + 2x³ + x² + x - 3

B. h(x) = 7x⁵ - x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

C. h(x) = -7x⁵ - x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

D. h(x) = 7x⁵ + x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

Ta có f(x) - h(x) = g(x) ⇒ h(x) = f(x) - g(x)

Mà f(x) = x² + x + 1; g(x) = 4 - 2x³ + x⁴ + 7x⁵ nên h(x) = x² + x + 1 - (4 - 2x³ + x⁴ + 7x⁵)

= x² + x + 1 - 4 + 2x³ - x⁴ - 7x⁵

Vậy h(x) = -7x5 - x⁴ + 2x³ + x² + x - 3

Chọn đáp án A

Bài 5: Tìm hệ số cao nhất của đa thức k(x) biết f(x) + k(x) = g(x) và f(x) = x⁴ - 4x² + 6x³ + 2x - 1; g(x) = x + 3

A. -1     B. 1      C. 4      D. 6

Ta có f(x) + k(x) = g(x) ⇒ k(x) = g(x) - f(x)

= x + 3 - (x⁴ - 4x² + 6x³ + 2x - 1)

= x + 3 - x⁴ + 4x² - 6x³ - 2x + 1 = -x⁴ - 6x³ + 4x² - x + 4

Nhận thấy số hạng có lũy thừa cao nhất của biến là -x4 nên hệ số cao nhất là -1

Chọn đáp án A

Bài 6: Tìm hệ số tự do của hiệu f(x) - 2.g(x) với

f(x) = 5x⁴ + 4x³ - 3x² + 2x - 1; g(x) = -x⁴ + 2x³ - 3x² + 4x + 5

A. 7     B. 11      C. -11      D. 4

- Ta có:

Hệ số cần tìm là -11

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đa thức P(x) = -9x³ + 5x⁴ + 8x² - 15x³ - 4x² - x⁴ + 15 - 7x³

Tính P(1), P(0), P(-1)

Đáp án

Trước hết ta thu gọn đa thức:

Bài 2: Cho đa thức

A = -3x³ + 4x² - 5x + 6

B = 3x³ - 6x² + 5x - 4

a) Tính C = A + B, D = A - B, E = C - D

b) Tính các giá trị của đa thức A, B, C, D tại x = -1

Đáp án

a) Ta có:

b) Tính giá trị biểu thức tại x = -1

Bài tập tự giải

Bài 45.

Cho đa thức P(x) = x⁴ - 3x² +½ - x

Tìm đa thức Q(x), R(x) sao cho:

a) P(x) + Q(x) = x⁵ - 2x² + 1

b) P(x) - R(x) = x³

Bài 46.

Viết đa thức P(x) = 5x³ - 4x² + 7x -2 dưới dạng:

a) Tổng của hai đa thức một biến.

b) Hiệu của hai đa thức một biến.

Bạn Vinh nêu nhận xét: “Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4”. Đúng hay sai ? Vì sao ?

Bài 47.

 Cho các đa thức:

P(x) = 2x⁴ - x - 2x³ + 1

Q(x) = 5x² - x³ + 4x

Tính P(x) + Q(x) + H(x) và P(x) – Q(x) – H(x).

Bài 48.

Chọn đa thức mà em cho là kết quả đúng:

(2x³ – 2x + 1) – (3x² + 4x – 1) = ?

2x³ + 3x² – 6x + 2

2x³ - 3x² – 6x + 2

2x³ - 3x² + 6x + 2

2x³ - 3x² – 6x - 2

Bài 49.

Hãy tìm bậc của mỗi đa thức sau:

M = x² - 2xy + 5x² - 1

N = x²y² + y² + 5x² - 3x²y + 5

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính N + M và N – M.

Bài 50.

Cho các đa thức:

M = 15y³ + 5y² - y⁵ -5y² - 4y³ - 2y

N = y² + y³ - 3y + 1 - y² + y⁵ - y³ + 7y⁵

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính N + M và N – M.