Cách chứng minh tam giác vuông

Chứng minh tam giác vuông là một dạng toán phổ biến trong chương trình Toán 8. Chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu các cách sau bài giảng dưới đây:

1. Cách chứng minh Tam giác vuông

Có tất cả 5 cách chứng minh tam giác vuông như sau:

– Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ

– Chứng minh tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ

– Chứng minh tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia. Áp dụng định lý Pitago.

– Chứng minh tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

– Chứng minh tam giác nội tiếp một nửa đường tròn (có 1 cạnh trùng đường kính).

* Cách 1: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có tổng 2 góc nhọn bằng 90 độ (2 góc nhọn phụ nhau).

Ví dụ 1: Tam giác ABC có góc B + C = 90°

⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

* Cách 2: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia.

Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB² + AC² = BC²

⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

* Cách 3: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ 3: Tam giác ABC có M là trung điểm BC, biết AM = MB = MC = ½ BC

=> Tam giác ABC vuông tại A.

* Cách 4: Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ.

+ Cách làm: Đưa góc cần chứng minh vào góc của một tứ giác rồi chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật, hình vuông, hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông.

* Cách 5: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính.

Ví dụ 4: Tam giác OAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=> Tam giác OAB vuông tại O.

2. Định nghĩa tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông ( góc 90⁰)

Tam giác ABC vuông tại A:

+ Cạnh BC đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.

+ Hai cạnh AB và AC kề với góc vuông gọi là cạnh bên ( hay còn gọi là cạnh góc vuông)

3. Định lý Pytago liên quan đến tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.+

4. Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

5. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông

• Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông

• Tam giác có hai góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông

• Tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia là tam giác vuông

• Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông

• Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính của đường tròn là tam giác vuông

6. Cách dựng tam giác ABC vuông tại A

Cho trước cạnh huyền BC = 4,5 cm và cạnh góc vuông AC = 2 cm.

– Dựng đoạn AC = 2 cm

– Dựng góc CAx bằng 90^o.

– Dựng cung tròn tâm C bán kinh 4,5 cm cắt Ax tại B. Nối BC ta có Δ ABC cần dựng.

7. Tính chất của Tam giác vuông

– Tính chất 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại O

=> Góc A + B = 90°

– Tính chất 2: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại O

=> OA² + OB² = AB²

– Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại O có M là trung điểm AB

=> MO = MA = MB = ½ AB