Cách vẽ hình chiếu trong toán học

Câu hỏi: Cách vẽ hình chiếu trong toán học như thế nào?

Trả lời:

Hình chiếu là hình biểu diễn một mặt nhìn thấy của vật thể đối với người quan sát đứng trước vật thể, phần khuất được thể hiện bằng nét đứt. Để hiểu về cách vẽ hình chiếu trong toán học cùng Top lời giải tìm hiểu bài học dưới đây để có cách vẽ phù hợp với từng trường hợp khác nhau nhé.

1. Các loại phép chiếu thường gặp

Có 3 loại phép chiếu là:

- Phép chiếu xuyên tâm: các tia chiếu xuất phát tại một điểm (tâm chiếu).

- Phép chiếu song song: các tia chiếu song song với nhau.

- Phép chiếu vuông góc: các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

2. Định nghĩa góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α là góc giữa d và a, trong đó a là hình chiếu vuông góc của d lên α.

Góc của đường thằng lên mặt phẳng

3. Định nghĩa hình chiếu vuông góc là gì?

Hình chiếu vuông góc trên một mặt phẳng là hình chiếu hợp với mặt phẳng một góc bằng 90 độ.

Nếu AH vuông góc với mặt phẳng (Q) tại H thì điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Q).

Các loại hình chiếu vuông góc:

- Hình chiếu đứng nhìn từ mặt trước của mặt phẳng

- Hình chiếu cạnh nhìn từ bên trái hoặc bên phải vật thể

- Hình chiếu bằng nhìn từ trên xuống vật thể.

4. Định nghĩa phương pháp hình chiếu vuông góc

Phương pháp hình chiếu vuông góc là phương pháp biểu diễn các hình chiếu vuông góc trên cùng một mặt phẳng hình chiếu.

Trong không gian cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α). Để tìm hình chiếu vuông góc của d lên (α) ta chọn 2 điểm A,B trên (α) rồi tìm hình chiếu K,H lần lượt của A,B lên (α). Đường thẳng a trong (α) đi qua 2 điểm H,K chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (α).

Trường hợp d và (α) song song nhau, nếu gọi a là hình chiếu vuông góc của d trên (α) thì ta có d song song với a.

Trường hợp đặc biệt d cắt (α) tại M: Chọn trên d một điểm B khác M rồi tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của B lên (α). Khi đó hình chiếu vuông góc của d lên (α) là đường thẳng a qua 2 điểm M và H.

5. Tam giác hình chiếu là gì?

Trong hình học, tam giác hình chiếu hay còn gọi là tam giác bàn đạp của một điểm P đối với tam giác cho trước có ba đỉnh là hình chiếu của P lên ba cạnh tam giác đó.

Xét tam giác ABC, một điểm P trên mặt phẳng không trùng với ba đỉnh A, B, C. Gọi các giao điểm của ba đường thẳng qua P kẻ vuông góc với điểm ba cạnh tam giác BC,CA,AB là L, M, N khi đó LMN là tam giác bàn đạp ứng với điểm P của tam giác ABC. Ứng với mỗi điểm P ta có một tam giác bàn đạp khác nhau, một số ví dụ:

- Nếu P = trực tâm, khi đó LMN = Tam giác orthic.

- Nếu P = tâm nội tiếp, khi đó LMN = Tam giác tiếp xúc trong.

- Nếu P = tâm ngoại tiếp, khi đó LMN = Tam giác trung bình.

P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, tam giác bàn đạp sẽ suy biến thành một đường thẳng.
Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì tam giác bàn đạp của nó suy biến thành đường thẳng Simson, đường thẳng này đặt tên theo nhà toán học Robert Simson.

6. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :

- Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.

- Điểm H : gọi là chân của  đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Định lí 1 :

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2 :

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

- Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.