Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Câu hỏi : Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Lời giải : 

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Công thức

Cho A,B,C,D là các đa thức ta có:

(A+B).(C+D)

=A(C+D)+B(C+D)

=AC+AD+BC+BD

Cùng Top lời giải ôn lại các dạng toán nhân đa thức với đa thức và áp dụng luyện tập nhé!

I. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính (hoặc rút gọn biểu thức)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Ví dụ:

(x+1)(2x+1)

=x.2x+x.1+1.2x+1.1

=2x²+x+2x+1

=2x²+3x+1(x+1)(2x+1)

=x.2x+x.1+1.2x+1.1

=2x²+x+2x+1=2x²+3x+1

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Giá trị của biểu thức f(x) tại x₀ là f(x₀)

Ví dụ: 

Tính giá trị của biểu thức:

A=(x−1)(x²+1)−(2x+3)(x²−2) tại  x=2

Ta có: 

A=(x−1)(x²+1)−(2x+3)(x²−2)

⇔A=x.x²+x.1−1.x²−1.1−2x.x²+2x.2−3.x²+3.2

⇔A=x³+x−x²−1−2x³+4x−3x²+6

⇔A=−x³−4x²+5x+5 

Tại x=2 ta có: A=−23−4.22+5.2+5=

Dạng 3: Tìm x

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc nhân đa thức với đa thức để biến đổi đưa về dạng tìm x cơ bản.

Ví dụ: 

Tìm x biết:

(x+2)(x+3)−(x−2)(x+5)=6(x+2)(x+3)−(x−2)(x+5)=6

Ta có:

(x+2)(x+3)−(x−2)(x+5)=6

⇔x.x+3.x+2.x+2.3−x.x−5.x+2.x+2.5=6

⇔x2+3x+2x+6−x2−5x+2x+10=6

⇔2x+16=6⇔2x=−10

⇔x=−5

II. Luyện tập

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a, (5x – 2y)(x² – xy + 1)

b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)

c, 12 x 2y² (2x + y)(2x – y)

Lời giải:

a, (5x – 2y)(x² – xy + 1)

= 5x³ – 5x2y + 5x – 2x2y + 2xy2 – 2y

= 5x³ – 7x2y + 5x + 2xy² – 2y

b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)

= (x² + x – x – 1)(x + 2)

= (x² – 1)(x + 2)

= x³ + 2x² – x – 2

c, 12 x 2y² (2x + y)(2x – y)

= 12 x2y² (4x2 – 2xy + 2xy – y3)

= 12 x2y² (4x2 – y²)

= 2x4y² - 12 x2y⁴

Bài 2: Thực hiện phép tính

a, (1/2 x – 1) (2x – 3)

b, (x – 7)(x – 5)

c, (x - 1/2 )(x + 1/2 )(4x - 1)

Lời giải:

a, (1/2 x – 1) (2x – 3)

= x² - 3/2 x – 2x + 3

= x² - 7/2 x + 3

b, (x –7)(x –5)

= x² – 5x – 7x + 3/5

= x² – 12x + 3/5

c, (x - 1/2 )(x + 1/2 )(4x - 1)

= (x² + 1/2 x - 1/2 x - 1/4 )(4x - 1)

= (x² - 1/4 )(4x - 1)

= 4x³ – x² – x + 1/4

Bài 3: Chứng minh:

a, (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 - 1

b, (x3 + x2y + xy² + y3)(x - y) = x⁴ – y⁴

Lời giải:

a, Ta có: (x – 1)(x² + x +1)

= x³ + x² + x – x² – x – 1

= x³ – 1

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (x³ + x2y + xy² + y³)(x - y)

= x⁴ + x3y + x2y² + xy³ – x3y – x²y² – xy³ – y⁴

= x⁴ – y⁴

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 4: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2.

Lời giải:

Ta có: a chia cho 3 dư 1 ⇒ a = 3q + 1 (q ∈N)

b chia cho 3 dư 2 ⇒ b = 3k + 2 (k ∈N)

A.b = (3q +1)(3k + 2) = 9qk + 6q + 3k +2

Vì 9 ⋮ 3 nên 9qk ⋮ 3

Vì 6 ⋮ 3 nên 6q ⋮ 3

Vậy a.b = 9qk + 6q + 3k + 2 = 3(3qk + 2q + k) +2 chia cho 3 dư 2.

Bài 5: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: n(2n – 3) – 2n(n + 1) = 2n2 – 3n – 2n2 – 2n = - 5n

Vì -5 ⋮ 5 nên -5n ⋮ 5 với mọi n ∈ Z .

Bài 6. 

Tìm x, biết:

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81.

Đáp án và hướng dẫn giải:

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81

4x(12x-5) – (12x-5) + (3x-7) -16x (3x-7) =81

48x² – 12x – 20x + 5 + 3x – 48x² – 7 + 112x = 81

83x – 2 = 81

83x = 83

x = 1

Bài 7: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

Đáp án và hướng dẫn giải:

Gọi ba số chẵn liên tiếp là a, a + 2, a + 4.

Ta có: (a + 2)(a + 4) – a(a + 2) = 192

a² + 4a + 2a + 8 – a² – 2a = 192

4a = 192 – 8 = 184

a = 46

Vậy ba số đó là 46, 48, 50.

Cách khác giải bài 14:

Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2x + 2 và 2x + 4 với x ∈ N

Ta có: (2x + 2)(2x +4) = 2x(2x + 2) + 192

<=> 2x(2x + 2) + 4(2x + 2) = 2x(2x + 2) + 192

<=> 4x² + 4x + 8x + 8 = 4x² + 4x + 192

<=> 4x² + 4x + 8x - 4x² - 4x = 192 - 8

<=> 8x = 184

=> x = 184 : 8 = 23

Các số tự nhiên cần tìm là: 46; 48 và 50

Bài 8 

Làm tính nhân:

a) (1/2x + y)(1/2x + y);

b) (x -1/2y)(x – 1/2y)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (1/2x + y)(1/2x + y) = 1/2x . 1/2x +1/2 x . y + y . 1/2x + y . y

= 1/4x² +1/2 xy +1/2 xy + y²

=1/4x² + xy + y²

b) (x – 1/2y)(x – 1/2y) = x . x + x(-1/2y) + (-1/2y . x) + (- 1/2y)(-1/2y)

= x² – 1/2xy – 1/2xy + 1/4y²

= x² – xy + 1/4y²