Các dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình

A. Lý thuyết cần nhớ về cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

2. Một số lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn:

+ Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x mang giá trị nguyên dương

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thi x > 0

B. Các dạng bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình

Dạng 1. Bài toán về năng suất lao động.

Năng suất: khả năng hoàn thành công việc trong một đơn vị thời gian.

Nghĩa là: Trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Công thức:

(N là năng suất)

- Số công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian T: Công việc = N. T

Ví dụ : Một phân xưởng được giao nhiệm vụ sản xuất một số lượng sản phẩm trong thời gian ngày. Do cải tiến máy móc kĩ thuật nên mỗi ngày phân xưởng sản xuất nhiều hơn so với dự định là 20 sản phẩm nên không những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn làm vượt mức 40 sản phẩm. Tính năng suất dự định của phân xưởng.

Hướng dẫn giải

Gọi năng suất dự định của phân xưởng là x (sản phẩm) (x ∈ N*)

Năng suất thực tế của phân xưởng là x + 20 (sản phẩm)

Số sản phẩm dự định sản xuất là 10x (sản phẩm)

Thời gian sản xuất thực tế là 10 - 2 = 8 (ngày)

Số sản phẩm thực tế sản xuất là 8.(x + 20) (sản phẩm)

Ta có phương trình như sau:

Vậy một ngày phân xưởng sản xuất được 60 sản phẩm.

Dạng 2. Toán về công việc làm chung, làm riêng.

Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị.

Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.

Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc, biểu thị bởi số 1.

Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian.

Gọi A là khối lượng công việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta có: A = n.t.

Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm

Dạng 3. Dạng toán phầm trăm

Cách giải:

+ Nếu gọi tổng số sản phẩm là  x thì số sản phẩm khi vượt mức a là (100+a) (sản phẩm)

+ Nếu gọi tổng số sản phẩm là  xx thì số sản phẩm khi giảm a là (100−a) (sản phẩm)

Dạng 4. Toán có nội dung hình học.

Cách giải: Một số công thức cần nhớ

+ Tam giác:

Diện tích = ( đường cao x cạnh đáy) : 2

Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh

+ Tam giác vuông: Diện tích = (Tích hai cạnh góc vuông ) : 2

+ Hình chữ nhật:

Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng

Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng)  \ 2

+ Hình vuông cạnh a

Dạng 5. Toán chuyển động.

Quãng đường = Vận tốc x Thời gian.

* Công thức tính quãng đường, công thức tính vận tốc

- Quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian

Công thức: 

Trong đó: S là quãng đường (km), v là vận tốc (km/h); s là thời gian (s)

- Các dạng bài toán chuyển động thường gặp là: chuyển động cùng nhau ngược nhau, chuyển dộng trước sau; chuyển động xuôi dòng – ngược dòng; …

Ví dụ : Trên quãng đường AB dài 200km có hai xe đi ngược chiều nhau, xe 1 khởi hành từ A đến B, xe hai khởi hành từ B về A. Hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe hai đi nhanh hơn xe 1 là 10km/h.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h) (x > 0)

Xe thứ hai đi nhanh hơn xe thứ nhất 10km/h ⇒ Vận tốc xe thứ hai là x + 10 (km)

Quãng đường xe thứ nhất đi trong 2 giờ là 2.x (km)

Quãng đường xe thứ hai đi trong 2 giờ là 2.(x + 10) (km)

Do hai xe xuất phát cùng lúc ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên tổng quãng đường đi được của hai xe bằng quãng đường AB. Ta có phương trình:

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 45km/h, vận tốc xe thứ hai là 55km/h.

Dạng 6. Toán về chuyển động trên dòng nước.

* Công thức tính vận tốc dòng nước

- Vận tốc của cano khi chuyển động trên dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của cano + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực của cano - vận tốc dòng nước Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng)/2

Ví dụ : Một cano xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30km/h. sau đó lại ngược dòng từ B về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc thực của cano không thay đổi.

Hướng dẫn giải

Gọi khoảng cách giữa hai bến A và B là x (km) (x > 0)

Vận tốc xuôi dòng của cano là 30 + 3 = 33 (km/h)

Dạng 7. Các dạng khác.

C. Bài tập luyện tập

Bài 1 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm chữ số 2 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 2 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị. Nếu ta đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới kém số cũ 36 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 3.

Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 16. Nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị.

Tìm số ban đầu ?

Bài 4.

Hai giá sách có 320 cuốn sách. Nếu chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu ở mỗi giá.

Bài 5.

Một cửa hàng ngày thứ nhất bán được nhiều hơn ngày thứ hai 420kg gạo.Tính số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất biết nếu ngày thứ nhất bán được thêm 120kg gạo thì số gạo bán được sẽ bán được gấp rưỡi ngày thứ hai.

Hướng dẫn giải

Bài 1 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm chữ số 2 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài giải:

Gọi chữ số hàng chục là: x (với x∈N∗;0<x<10)

Chữ số hàng đơn vị là: 3x

Giá trị của số ban đầu là: x.10+3x=13x

Nếu xen giữa hai số ấy thì được số mới là: 100x+2.10+3x=103x+20

Theo bài ra ta có: 103x+20=13x+200

 ⇔x=2(TM)

Vậy số ban đầu là : 26

Bài 2 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị. Nếu ta đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới kém số cũ 36 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài giải

Gọi chữ số hàng đơn vị là: x (với x∈N∗;0<x<10)

Chữ số hàng chục là: 2x

Giá trị của số ban đầu là: 2x.10+x=21x

Nếu ta đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới là: 10x+2x=12x

Theo bài ra ta có: 21x=12x+36

⇔x=4™

Vậy số ban đầu là : 21.4 = 84

Bài 3.

Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 16. Nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài giải:

Gọi chữ số hàng chục là: x (với x∈N∗;0<x<10)

Chữ số hàng đơn vị là: 16−x

Giá trị của số ban đầu là: x.10+16−x=16+9x

Nếu xen giữa hai số ấy thì được số mới là: 100x+16−x=16+99x

Theo bài ra ta có: 16+99x=16+9x+630

 ⇔x=7(TM)

Vậy số ban đầu là : 16 + 9.7 = 79

Bài 4.

Hai giá sách có 320 cuốn sách. Nếu chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu ở mỗi giá.

Bài giải :

Gọi số cuốn sách lúc đầu ở giá thứ nhất là : x (cuốn) (với x∈N∗,x<320)

Số sách lúc đầu ở giá thứ hai là : 320−x (cuốn)

Nếu chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là : x−40 (cuốn)

Khi đó số sách ở giá thứ hai khi đó là : 320−x+40=360−x (cuốn)

Theo bài ra ta có : x−40=360−x

⇔x=200 (TM )

Vậy số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là : 200 cuốn

Số sách lúc đầu ở giá thứ hai là : 320 – 200 = 120 (cuốn)

Bài 5.

Một cửa hàng ngày thứ nhất bán được nhiều hơn ngày thứ hai 420kg gạo.Tính số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất biết nếu ngày thứ nhất bán được thêm 120kg gạo thì số gạo bán được sẽ bán được gấp rưỡi ngày thứ hai.

Bài giải

Gọi số gạo bán được trong ngày thứ nhất là x (kg) (với x>0)

Số gạo bán được trong ngày thứ hai là : x−420(kg)

Nếu ngày thứ nhất bán đc thêm 120kg thì sẽ bán được số ki-lô-gam gạo là : x+120 (kg)

Theo đề bài ta có : 

⇔x=1500  (TM)

Vậy ngày thứ nhất cửa hàng bán được 1500 kg gạo.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1: Một ô tô chuyển động trên một đoạn đường. Trong nửa thời gian đầu ô tô chuyển động với vận tốc 60km/h, trong nửa thời gian còn lại ô tô chuyển động với vận tốc 40km/h. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên cả đoạn đường.

Bài 2: Một cano chuyển động đều xuôi dòng sông từ A đến B mất thời gian 1 giờ khi cano chuyển động ngược dòng sông từ B về A mất thời gian 1,5 giờ biết vận tốc cano đối với dòng nước và vận tốc của dòng nước là không đổi nếu cano tắt máy thả trôi từ A đến B thì mất thời gian là?

Bài 3: Một đội công nhân khai thác gỗ theo kế hoạch phải khai thác 216m³ gỗ trong một thời gian quy định. Trong 3 ngày đầu họ làm việc với đúng năng suất theo kế hoạch. Sau đó mỗi ngày họ khai thác thêm được 8m³ nữa, vì thế họ không những hoàn thành sớm công việc 1 ngày mà còn khai thác thêm được 16m³ nữa. Hỏi thời gian trong kế hoạch phải khai thác bao nhiêu ngày.

Bài 4: Một xí nghiệp kia hợp đồng dệt 1 số vải đen trong 20 ngày do cải cách kĩ thuật năng suất của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy chỉ trong 18 ngày không những xí nghiệp đã hoàn thánh số thảm mà còn dệt 24 tấm nữa. Tính số thảm đen mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.