Bài tập về tứ giác

A. Lý thuyết Tứ giác

1. Định nghĩa

+ Tứ giác MNPQ là hình gồm bốn đoạn thẳng MN, NP, PQ, QM, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

2. Tứ giác lồi

+ Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

+ Ví dụ: Tứ giác MNPQ ở trên là hình ảnh của tứ giác lồi.

3. Tổng các góc của một tứ giác

+ Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰

B. Bài Tập Về Tứ Giác Trong Sách Giáo Khoa Lớp 8

Toán 8 Tập 1 Bài 1 trang 64: Trong các tứ giác ở hình 1, tứ giác nào luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác ?

Lời giải

a) tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác

b) tứ giác nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ BC (hoặc bờ CD)

c) tứ giác nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ AD (hoặc bờ BC)

 Toán 8 Tập 1 Bài 1 trang 65:

a) Nhắc lại định lý về tổng ba góc của một tam giác

b) Vẽ tứ giác ABCD tùy ý. Dựa vào định lý về tổng ba góc của một tam giác, hãy tính tổng A + B + C + D

Lời giải

a) Trong một tam giác, tổng ba góc là 180^o

b)

ΔABC có ∠A₁ + ∠B + ∠C₁ = 180^o

ΔADC có ∠A₂ + ∠D + ∠C₂ = 180^o

⇒∠A₁ + ∠B + ∠C₁ + ∠A₂ + ∠D + ∠C₂ = 180^o + 180^o

⇒ (∠A1 + ∠A₂ ) + ∠B + (∠C₁ + ∠C₂) + ∠D = 360^o

⇒∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^o

Bài 1 (trang 66 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm x ở hình 5, hình 6:

Lời giải:

Ta có định lý: Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360º.

+ Hình 5a: Áp dụng định lý trong tứ giác ABCD ta có:

x + 110º + 120º + 80º = 360º

⇒ x = 360º – 110º – 120º – 80º = 50º

+ Hình 5b: Dựa vào hình vẽ ta có: 

Áp dụng định lý trong tứ giác EFGH ta có:

x + 90º + 90º + 90º = 360º

⇒ x = 360º – 90º – 90º – 90º = 90º.

+ Hình 5c: Dựa vào hình vẽ ta có:

Áp dụng định lý trong tứ giác ABDE ta có:

x + 90º + 65º + 90º = 360º

⇒ x = 360º – 90º – 65º – 90º = 115º

+ Hình 5d:

Áp dụng định lý trong tứ giác IKMN ta có:

x + 90º + 120º + 75º = 360º

⇒ x = 360º – 90º – 120º – 75º = 75º

+ Hình 6a: Áp dụng định lý trong tứ giác PQRS ta có:

x + x + 65º + 95º = 360º

⇒ 2x + 160º = 360º

⇒ 2x = 200º

⇒ x = 100º

+ Hình 6b: Áp dụng định lý trong tứ giác MNPQ ta có:

x + 2x + 3x + 4x = 360º

⇒ 10x = 360º

⇒ x = 36º.

Bài 2 (trang 66 SGK Toán 8 Tập 1): Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.

a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7a.

b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài):

c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác?

Bài 3 (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1): Ta gọi tứ giác ABCD trên hình 8 có AB = AD, CB = CD là hình "cái diều".

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD.

b) Tính B̂,D̂ biết rằng  = 100º, Ĉ = 60º

Lời giải:

a) Ta có:

AB = AD (gt) ⇒ A thuộc đường trung trực của BD

CB = CD (gt) ⇒ C thuộc đường trung trực của BD

Vậy AC là đường trung trực của BD

b) Xét ΔABC và ΔADC có:

   AB = AD (gt)

   BC = DC (gt)

   AC cạnh chung

⇒ ΔABC = ΔADC (c.c.c)

Bài 4 (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1): Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại các tứ giác ở hình 9, hình 10 vào vở.

Lời giải:

- Cách vẽ hình 9:

+ Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm

+ Quay cung tròn tâm A, bán kính 3cm, cung tròn tâm B bán kính 3,5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

+ Quay cung tròn tâm C bán kính 2cm và cung tròn tâm A bán kính 1,5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D.

+ Nối các đoạn BC, AC, CD, AD ta được hình cần vẽ.

- Cách vẽ hình 10:

+ Vẽ góc 

 . Trên tia Nx, lấy điểm M sao cho MN = 4cm, trên tia Ny lấy điểm P sao cho NP = 2cm.

+ Vẽ cung tròn tâm P bán kính 1,5cm và cung tròn tâm M bán kính 3cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại Q.

+ Nối PQ, MQ ta được hình cần vẽ.

C. Bài tập nâng cao Tứ giác

Lời giải bài tập nâng cao Tứ giác

Bài 1:

Bài 2:

+ Ta có 

(tổng các góc trong một tứ giác)

Thay số 

+ Có AI là phân giác của 

(tính chất)

Có BI là phân giác của 

(tính chất)

+ Xét tam giác IAB có: 

 (tổng ba góc trong tam giác)

Thay số: 

Bài 3:

+ Có CM là phân giác của 

(tính chất)

+ Có DM là phân giác của 

(tính chất)

+ Xét tam giác MCD có: 

Thay số: 

+ Ta có: 

(tổng các góc trong một tứ giác)

Thay số 

Lại có