Bài 18 trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 18 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): 

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ mp(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy

b) SC ⊥ mp(BHK);

c) HK ⊥ mp(SBC)

Lời giải:

a) Gọi điểm I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BC

Ta có BC ⊥ AH (do h là trực tâm ΔABC)

BC ⊥ SA (do SA ⊥ mp(ABC))

⇒ BC ⊥ (SAI) mà SI ⊂ (SAI) nên : BC ⊥ SI

K là trực tâm ΔABC nên SI qua K

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại I

b) Theo đề bài ta có BH ⊥ AC và BH ⊥ SA nên :

BH ⊥ mp(SAC) suy ra BH ⊥ SCH

Mặt khác SC ⊥ BK nên SC ⊥ mặt phẳng(BHK)

c) Ta có SC ⊥ HK (do HK ⊥ mặt phẳng(BHK))

Mà HK ⊥ BC (do BC ⊥ mặt phẳng(SAI))

Vậy HK ⊥ (SBC).

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 11 nâng cao