Điều kiện để sử dụng công thức Bernoulli

Câu trả lời chính xác nhất: Trước đó, vào thế kỳ 17, một nhà toán học nổi tiếng cũng thuộc nhà Bernoulli, Jacob Bernoulli đã phát minh ra phép thử Bernoulli. Dãy các phép thử Bernoulli được định nghĩa là đối với thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó chúng ta thực hiện n lần thử lặp lại. Điều kiện để sử dụng công thức Bernoulli là các dãy phép thử phải là dãy Bernoulli: Đây là dãy các phép thử độc lập, nghĩa là kết quả của mỗi phép thử không phụ thuộc vào kết quả của các phép thử khác; Biến cố A xảy ra với xác suất p như nhau ở phép thử thứ i bất kỳ; Nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i, ta nói phép thử thứ i thành công.

Để giúp các bạn hiểu hơn về Điều kiện để sử dụng công thức Bernoulli và một số kiến thức mở rộng khác liên quan tới công thức Bernoulli, Toploigiai đã mang tới bài mở rộng kiến thức sau đây, mời các bạn cùng tham khảo.

1. Giả thuyết Bernoulli là gì?

Daniel Bernoulli là nhà toán học của thế kỷ 19, đã đưa ra lời giải cho một nghịch lý nổi tiếng với cái tên "nghịch lý Xanh Pê-téc-bua".

Vấn đề là phải lý giải tại sao con người không trả các khoản tiền cực lớn để chơi trò chơi sau đây: Một đồng tiền được tung lên, chẳng hạn cho đến khi mặt ngửa xuất hiện. nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ hai, người chơi nhận được 2² đơn vị tiền thưởng (ví dụ là 4 đồng). Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ 3, người chơi nhận được 2³ đơn vị tiền thưởng, đến lần thứ tư người chơi nhận được 2∧4 đơn vị tiền thưởng, và vân vân. Tổng của xác suất nhận được tiền thưởng phải bằng 1, nhưng với số lần tung vô hạn, giá trị kỳ vọng của tiền thưởng cũng là một đại lượng vô hạn. Như vậy, người ta có thể nhận định rằng người chơi sẽ đánh những khoản tiền rất lớn trong một trò chơi như thế.

Giải thích tại sao mọi người chấp nhận chơi trò chơi này, Bernoulli lập luận rằng người chơi bạc quan tâm đến ích lợi của phần thưởng hơn là bản thân tiền thưởng. Bằng cách nêu ra giải thuyết về lợi ích cận biên giảm dần của thu nhập, Bernoulli chỉ ra rằng một trò chơi có thể có giá trị kỳ vọng bằng tiền vô hạn, nhưng có giá trị kỳ vọng tính bằng lợi ích hữu hạn. Bởi vậy mọi người quan tâm tới giả thuyết này trước hết vì nó là nỗ lực đầu tiên trong việc thay thế mục tiêu tính bằng tiền bằng sự tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện có rủi ro hay tính bất định.

>>> Tham khảo: Công thức chỉnh hợp, xác suất?

2. Công thức Bernoulli

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp trường hợp cùng một phép thử được lặp đi lặp lại nhiều lần. Trong mỗi phép thử có thể xảy ra hay không xảy ra một biến cố A nào đó và ta quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong dãy phép thử. Chẳng hạn, nếu tiến hành sản xuất hàng loạt một loại chi tiết nào đó ta thường quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. Bài toán này có thể giải quyết khá dễ dàng nếu các phép thử độc lập với nhau.

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở phép thử khác hay không.

Ví dụ: tung một đồng xu nhiều lần, lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ 1 lô hàng,…

Khi tiến hành n phép thử, mỗi phép thử chỉ xảy ra 2 trường hợp:

Biến cố A xảy ra với xác suất ở mỗi phép thử là p

Biến cố A không xảy ra với xác suất ở mỗi phép thử là: 1 – p = q

Xác suất để trong n phép thử độc lập xảy ra biến cố A với đúng k lần ký hiệu là Pk(A) được tính theo công thức Bemoulli sau đây:

(k = 0, 1,2,…, n)

Chứng minh

Gọi Ai là biến cố “ở phép thử thứ i, A xảy ra” (i = 1, 2,…, n).

Khi đó biến cố “ở phép thử thứ i, A không xảy ra” là  

Gọi B là biến cố “trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần”.

Trong trường hợp ở k phép thử đầu, A xảy ra và n-k phép thử sau A không xảy ra ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:

Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn k phép thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích có dạng:

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k phép thử để biến cố A xảy ra, tức bằng

biến cố B chính là tổng của những biến cố tích ấy.

>>> Tham khảo: Công thức tổ hợp, xác suất?

3. Điều kiện để sử dụng công thức Bernoulli

Trước đó, vào thế kỳ 17, một nhà toán học nổi tiếng cũng thuộc nhà Bernoulli, Jacob Bernoulli đã phát minh ra phép thử Bernoulli. Dãy các phép thử Bernoulli được định nghĩa là đối với thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó chúng ta thực hiện n lần thử lặp lại. Điều kiện để sử dụng công thức Bernoulli là các dãy phép thử phải là dãy Bernoulli: Đây là dãy các phép thử độc lập, nghĩa là kết quả của mỗi phép thử không phụ thuộc vào kết quả của các phép thử khác; Biến cố A xảy ra với xác suất p như nhau ở phép thử thứ i bất kỳ; Nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i, ta nói phép thử thứ i thành công.

-----------------------------

Trên đây Toploigiai đã mang tới cho các bạn câu trả lời chính xác nhất cho câu hỏi Điều kiện để sử dụng công thức Bernoulli và một số kiến thức mở rộng khác liên quan tới công thức Bernoulli. Hi vọng những kiến thức chúng tôi cung cấp sẽ giúp các bạn học tập tốt hơn. Mời các bạn đến với câu hỏi tiếp theo.