Công thức Heron tính diện thích tam giác

Khi nói về diện tích tam giác chúng ta sẽ nghĩ đến công thức tính là lấy cạnh đáy nhân chiều cao và chia 2. Tuy nhiên, trên thực tế rất hiếm đề thi cho sẵn các thông tin về cạnh đáy, chiều cao để tính diện tích. Một số đề toán thay vào đó chỉ cho chiều dài 3 cạnh và yêu cầu tính diện tích theo dữ liệu đó. Lúc này, học sinh cần tìm đến công thức Heron để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh.

Hãy cùng Top lời giải đi tìm hiểu về công thức Heron nhé.

1. Công thức Heron là gì

- Khái niệm

Công thức toán học Heron được sử dụng để tính diện tích của một tam giác theo độ dài 3 cạnh. Như vậy, nhờ có công thức Hê-rông, chúng ta đã có thêm một cách tính diện tích tam giác bên cạnh các công thức tính cơ bản khác.

- Lịch sử

Công thức toán học này được đặt tên theo tên nhà toán học Heron, sinh ra tại Alexandria - Ai Cập. Cách chứng minh có thể tìm thấy trong cuốn sách của ông - Metrica, được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có độ dài cạnh AB = 2, BC = 3, AC = 4. Tính diện tích tam giác ABC?

Ví dụ 2: Cho tam giác BCD, các cạnh BC,CD,BD có độ dài tương ứng lần lượt là 3,4,5. Tính diện tích tam giác BCD?

Công thức Heron là một trong những công thức tính diện tích tam giác được sử dụng khá phổ biến ở các bạn học sinh cấp hai. Tuy nhiên, do mức độ áp dụng còn hạn chế nên công thức Heron chỉ áp dụng trong một số trường hợp khi và chỉ khi tìm kiếm được độ dài số đo của tất cả các cạnh của tam giác hay được áp dụng để tìm cạnh của một tam giác khi biết diện tích và 2 cạnh còn lại.  

2. Nội dung của công thức Heron

Cho một tam giác có các cạnh lần lượt là a, b, c. Gọi S là diện tích của tam giác đó, ta sẽ có công thức mang tên Heron (đã được chứng minh) để tính diện tích tam giác như sau:

Công thức Heron được viết như sau:

Với p là nửa chu vi của tam giác.

Công thức Heron còn có thể được viết lại bằng:

Cách chứng minh công thức Heron

Cách chứng minh này sử dụng đại số và lượng giác

Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

Từ đó:

Dựa vào đường cao và sin của góc C. Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

Vậy nếu các bạn muốn tính diện tích tam giác với ba cạnh a, b, c thì các bạn cần tính nửa chu vi của tam giác với công thức:

Sau đó áp dụng công thức tính diện tích Heron để tính diện tích tam giác:

3. Ví dụ tính diện tích tam giác áp dụng công thức Heron

Câu hỏi: 

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 6, 8, 10. Tính diện tích tam giác ABC?

Lời giải:

a. Cách 1:

Ta dễ nhận thấy rằng tam giác này vuông (Theo định lý Pytago), nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền =10.

Vậy diện tích bằng 

b. Cách khác: