Chuyên đề nhân đơn thức với đa thức

Nhân đơn thức với đa thức hay nhân đa thức với đa thức là một trong những phép tính rất hay và khó, đòi hỏi người làm phải có kiến thức, sự nhạy bén và cẩn thận. Hôm nay Top lời giải sẽ gửi đến các bạn lý thuyết nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức và bài tập kèm lời giải chi tiết:

I. Lý thuyết nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

1. Nhân đơn thức với đa thức:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

2. Nhân đa thức với đa thức:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

3. Phương pháp chung nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức:

- Nhân đơn thức với đa thức tương tự như nhân một số với một tổng:

A(B+C) = AB + AC.

- Nhân đa thức với đa thức tương tự như nhân một tổng với một tổng:

(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD.

4. Sơ đồ hướng dẫn nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

Lưu ý: Với các đa thức một biến, ngoài cách thực hiện theo quy tắc ở trên, học sinh có thể thực hiện theo cột dọc:

- Bước 1: Sắp xếp hai đa thức theo theo cùng lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến

- Bước 2: Viết đa thức này dưới đa thức kia

- Bước 3: Nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ hai với đa thức thứ nhất và kết quả ghi trên cùng một dòng. Lưu ý các đa thức đồng dạng ghi trên cùng một cột.

- Bước 4: Thực hiện cộng theo từng cột để có đáp án. Đây chính là kết quả của phép nhân hai đa thức ban đầu.

II. Bài tập nhân đơn thức với đã thức, nhân đa thức với đa thức

1. Trong các câu sau đây, câu nào sai?

a) -6x + 3(7 + 2x) = 21.

b) 15y – 5(6x +3y) = -30x.

c) 2x²  - 3x + 4x(1 – ½x) = x².

d) 14x²y² – 7xy2(2x – 3y) = 21xy³.

2. Trong các câu sau, câu nào đúng?

a) x(2x +1) = 2x².

b) -⅓.xz(-9xy + 15yz) + 3x²(2yz² - yz) = -5xyz + 6x²yz².

c) 6(3p + 4q) – 8(5p – q) + (p – q) = -20p +31q.

d) 6m2 - 5m(-m + 2n) + 4m(-3m - 2n) = -m2 – 20mn.

3. Cho biết: 3x² – 3x(-2 +x) = 36.

Giá trị của x là:

a) 4

b) 5

c) 6

d) Một đáp số khác.

4. Cho biết  ⅓ x² – 4x + 2x(2 – 3x) = 0.

Giá trị của x là:

a) -1

b) 0

c) 1

d) Một đáp số khác.

5. Giá trị của biểu thức 5x(4x² – 2x +1) – 2x(10x² – 5x -2) với x = 15 là:

a) 130

b) 135

c) 140

d) Một đáp số khác.

6. Làm tính nhân:

a) 5x²(4x³ – 7x + 1/5).

b) (8x² – 6xy +7)(xy).

c) (4x² – 6x +5)(2x + 3).

d) (4x² + 6xy +9y2)(2x – 3y).

7. Rút gọn biểu thức:

2x(x – 3y) + 3y(2x – 5y).

(5x – 3y)(2x + y) – x(10x – y).

8. Các biểu thức sau biểu thức nào có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến?

-5x(5x – 2) +(5x +1)(5x – 1) -10x.

(x + 8)(x – 4) – x(x - 12) +32.

(2x + 3)(3x – 1) – 6x(x - 2) – 19(x – 5).

9. 

a) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 100.

b) Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 256.

c) Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 68.

10.

a) A= x⁴ – 17x³ + 17x² – 17x +20 tại x = 16.

b) B = X³ – 30x² – 31x + 1 tại x = 31.

c) C = X⁵ -15x⁴ + 16x³ – 29x² + 13x tại x = 14.

d) D = x¹⁴ – 10x¹³ + 10x¹² – 10x¹¹ +….+ 10x² – 10x + 10 tại x = 9.

11. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

M = a(a+b)(a+c);    N = b(b+c)(b+c);      P = c(c+a)(c+b).

12. Cho a+ b + c = 2p. Chứng minh hằng đẳng thức:

2bc + b2 + c2 – a2= 4p(p – a).

13. Cho b + c = 10, chứng minh đẳng thức:

(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc.

Áp dụng để tính nhẩm: 62.68;      43.47.

14. Xác định các hệ số a, b, c biết rằng:

a) (2x – 5)(3x + b) = ax² + x + c.

b) (ax + b)(x² – x – 1) = ax³ + cx² -1.

15. Cho bốn số nguyên liên tiếp.

a) Hỏi tích của số đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số ở giữa bao nhiêu đơn vị?

b) Giả sử tích của số đầu với số thứ ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và số thứ tư là 99, hãy tìm bốn số nguyên đó.

Lời giải – đáp số:

1. c).

2. d).

3. c).

4. b).

5. b).

6. a) 20x⁵ – 35x³ + x².

b) -4x⁴y⁴ + 3x²y² - xy.

c) 8x² – 8x + 15.

d) 8x³ – 27y³.

7. a) 2x(x – 3y) + 3y(2x – 5y)

= 2x² – 6xy + 6xy – 15y²

= 2x² – 15y².

b) (5x – 3y)(2x + y) – x(10x – y)

= 10x² + 5xy – 6xy – 3y² – 10x² + xy

= -3y².

8. a) -1.

b) 16x.

c) 92.

Vậy biểu thức a) và b) có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến.

9. a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 (n). (n ∈ N)

Tích của hai số đầu là n(n+1).

Tích của hai số sau là (n+1)(n+2).

Theo đề bài, ta có:

(n+1)(n+2) – n(n+1) = 100

n² +2n + n + 2 – n²  - n = 100

2n + 2 = 100

2n = 98

N = 49.

Vậy ba số đó là 49, 50, 51.

b) 62; 64 và 66.

c) 15; 17 và 19.

10. 

a) Ta thay các số 17 bởi x + 1, còn 20 thay bởi x + 4.

A = x⁴ – x³(x+1) + x²(x+1) – x(x+1) +x +4

   = x⁴ – x⁴ – x³ + x³ + x² – x² –x + x + 4 =  4.

b) 1

c) C = x⁵ – 15x⁴ + 16x³ – 29x² =13x.

= x⁵ – (x+1)x⁴ + (x+2)x³ – (2x+1)x² + x(x-1).

= x⁵ – x⁵ – x⁴ + x⁴ + 2x³ – 2x³ –x² + x² – x

= -x = -14.

d) Thay 10 bởi x + 1. Đáp số: 1.

11. Do a + b + c = 0 => a + b = -c

                                 b + c = -a

                                 a + c = -b.

 nên M = a(a+b)(a+c) = a(-c)(-b) = abc.

Tương tự: N = abc, P = abc. Vậy M = N = P.

12. Biến đổi vế phải: 4p(p – a) = 2p(2p – 2a) = (a+ b + c)(b + c – a). Kết quả của phép nhân này cho ta 2bc + b² + c² – a².

13. (10a + b)(10a + c)

= 100a² + 10ac + 10ab +bc

= 100a² + 10a(b + c) + bc.

= 100a² + 100a + bc.

= 100a(a + 1) + bc.

Áp dụng: 62.68 = 100.6.7 + 2.8 = 4216.

  43.47 = 100.4.5 + 3.7 = 2021.

14. 

a) (2x – 5)(3x + b) = ax² + x + c => 6x² + (2b – 15)x – 5b = ax² + x + c.

=> a = 6.

      2b – 15 = 1.

      -5b = c.

=> a = 6

B = 8

C = -40.

b) (ax + b)(x² – x – 1) = ax³ + cx² -1.

=> ax³ + (b – a)x² – (a+b)x – b = ax³ + cx² – 1.

=> b – a = 0.

A + b = 0

B =1.

• A = -1.
• B =1.
• C = 2.

15. a) Gọi 4 số nguyên liên tiếp là a; a + 1; a + 2; a + 3.

Ta có (a + 1)(a + 2) – a(a + 3) = 2.

(a + 1)(a + 3) – a(a + 2) = 99 => a = 48. Vậy 4 số nguyên liên tiếp đó là 48; 49; 50; 51.

Như vậy muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.

Bài viết đã hướng dẫn bạn cách nhân đa thức với đa thức một cách dễ dàng và chính xác, tuy nhiên để tránh mắc sai lầm, bạn cần nắm chắc quy tắc và luyện tập nhiều.

- Ngô Phương Anh - TP. Huế