Cấp số cộng là gì

CÂU HỎI: Cấp số cộng là gì?

LỜI GIẢI:

Một dãy vô hạn hoặc hữu hạn được gọi là một cấp số cộng. Nếu mọi số hạng (trừ số hạng đầu) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công sai.

Ví dụ:

Dãy số 3;6;9;12;15là một cấp số cộng vì:

6=3+3

9=6+3

12=9+3

15=12+3

Đây là CSC có công sai d=4 và số hạng đầu u1=3.

CÙNG TOP LỜI GIẢI TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TẬP NHÉ!

1. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Công thức 1: Công thức định nghĩa

Công thức 2: Tính số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu và công sai

Công thức 3: Công thức liên hệ với hai số hạng liền kề

Công thức 4: Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

Công thức 5: Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

Công thức 6: Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

2. BÀI TẬP

BÀI 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. 

Lời giải:

Giả sử bốn số hạng đó là a – 3x, a – x, a + x, a + 3x với công sai là d = 2x. Khi đó, ta có:

• Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8.

BÀI 2: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính 

Lời giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

Ta có: S₁₀₀ = 50(2u₁ + 99_d) = 24850 

Ta có 

BÀI 3: Cho cấp số cộng (un) có u₁ = 4 và d = -5 Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. 

Lời giải:

BÀI 4: Cho cấp cấp số cộng (un) với u₁ = 3 và u₂ = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u₂–u₁=6

BÀI 5: Cho một CSC có u₁=–3; u₆=27. Tìm d ?

Lời giải:

u₆=27⇔u1+5d=27⇔–3+5d=27⇔d=6

BÀI 6: Xác định x để 3 số : 1–x;x2;1+x theo thứ tự lập thành một CSC?

Lời giải:

Ba số: 1–x;x2;1+x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x2–(1–x)=1+x–x2

⇔2x2=2⇔x=±1

BÀI 7: Một cấp số cộng (un) biết rằng số hạng đầu tiên u₁ = 5, số hạng thứ 11 là u₁₁ = 25. Hãy tính tổng 11 số hạng đầu tiên của dãy số này

Lời giải:

Áp dụng công thức Sn=(u₁+un)n2

+ u₁ = 5

+ u₁₁ = 25

+ n =11

BÀI 8: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (u_n) (triệu đồng)

Theo đề:

+ Quý đầu: u₁ = 6

+ Các quý tiếp theo: u_n+1 = u_n + 0,5 với ∀_n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số un. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un).

Lương tháng quý 20 của công nhân: u₂₀ = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: S₁₂=20.(6+15,5)₂=215 (triệu đồng)

BÀI 9: Cho 1 cấp số cộng (u_n) biết rằng số hạng đầu u₁ = – 6; và số hạng u₉ = 50. Hãy tìm công sai của cấp số cộng đó

Lời giải:

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: un = u₁ + d(n – 1)

+ u₁ = – 6

+ n = 10

+ u₉ = 50

Ta có – 6 + d(9 – 1) = 50 <=>d = 7

BÀI 10:  Cho 1 cấp số cộng (u_n) có công sai d = – 5 và số hạng thứ 6 là 10. Số hạng thứ thứ nhất của cấp số cộng băng bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: u_n = u₁ + d(n – 1)

+ d = – 5

+ n = 6

+ u₆ = 10

Ta có 10 = u₁ + (-5).(6 – 1) => u₁ = 35