Cách tìm nghiệm của đa thức nhiều biến

1. Định nghĩa đa thức

Đa thức là tổng gồm nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức được gọi là 1 hạng tử của đa thức.

VD: 2xy + 3x²y⁵ là một đa thức

2. Các dạng toán đa thức nhiều biến

Bài toán : Tìm hàm đa thức f: R → R sao cho 

f(x - y) + f(y - z) + f(z - c) = 2f(x + y + z)

với mọi x, y, z ϵ R thỏa mãn xy + yz + zx = 0

Lời giải 1 :

Cho  x = y = z = 0, ta được: 3f(0) = 2f(0) => f(0) = 0

Cho x = y = 0, ta được f(0) + f(z) + f(-z) = 2f(z) => f(z) = f(-z)

Điều này cho thấy rằng f là hàm chẵn. Đặt f(x) = g(x²)

Ta viết phương trình hàm đa thức đề bài cho thành:

g[(x - y)²] + g[(y - z)²] + g[z - x)²] = 2g[(x + y + z)²]

Đặt a = x - y, b = y - z. Như vậy, ta được: g(a²) + g(b²) + g[(a + b)²] = 2g (a² + b² + ab)

Cho a = b: 2g(a²) + g(4a²) = 2g(3a²)

Lại đặt t = a², ta được: 2g(t) + g(4t) = 2g(3t)

Do đó ta có deg g(x) = 2 => g(x) = px² + qx

Từ đó ta có f(x) = px⁴ + qx² (p, q ϵ R). Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức f(x) cần tìm là f(x) = px⁴ + qx² (p, q ϵ R)

Lời giải 2:

Ta sẽ tìm các số nguyên x, y, z đơn giản nhất có thể thỏa mãn xy + yz + zx = 0

Giả sử tồn tại các số x, y, z như thế

Ta có  y(x + z) = -zx => (x + z)|zx Ta chọn (x, y, z) = (3, 6, -2)

Do vậy bộ (x, y, z) = (2t, 6t, -3t) thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 0

Thay vào phương trình hàm đa thức đề bài:

f(-3t) + f(8t) + f(-5t) = 2f(7t)   (*)