Cách tìm nghiệm của đa thức bậc 2

1. Phương  pháp tìm nghiệm của đa thức:

a. Phương pháp:

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P(x)  nếu P(a) = 0

Ngược lại nếu P(a) = 0 thì x=a là nghiệm của đa thức P(x)

Chú ý : 

+ Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, … hoặc không có nghiệm.

+ Số nghiệm của đa thức không vượt quá bậc của nó

Đa thức bậc nhất chỉ có 1 nghiệm;

Đa thức bậc hai có không quá 2 nghiệm;

Đa thức bậc ba có không quá 3 nghiệm….

b. Ví dụ :

* Đa thức: x² - 5x + 8x -  4  có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)

2. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax²+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax²+bx+c=0.

3. Giải phương trình bậc 2

Tam thức bậc hai ax² + bx + c (1)

    Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết.

    Nếu b2  - 4ac  không là bình phương của  số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa.

Phân tích thành nhân tử

Nếu phương trình (1) nghiệm phân biệt x₁, x₂, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂) = 0.

Cách tìm nghiệm: 

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh:

+ Nếu a+b+c=0 thì x₁ = 1, x₂ = c/a

+ Nếu a-b+c=0 thì x₁ = -1, x₂ = -c/a

 4. Ví dụ bài tập

Bài 1: Giải phương trình

                  (4x + 3)² - 25 = 0

Lời giải:  áp dụng phương  pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử  đưa phương trình về dạng.

            8(2x - 1)(x +2) = 0  x =   hoặc x = -2

Bài 2: Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là một nghiệm của đa thức f(x) = x² - 3x + 2 hay không?

Lời giải:

Ta có đa thức: f(x) + x² - 3x +2

+ Với x = 1 ta có:

f(1) = 1² -3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Nên x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với x = 2 ta có

f(2) = 2² -3.2 + 2 = 4 - 6 +2 = 0

Nên x = 2 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với x = -1 ta có:

f(-1) = (-1)² - 3.(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6

Nên x = -1 không là nghiệm của đa thức f(x)

Bài 3: Tìm nghiệm của đa thức

a) x² - 2003x - 2004 = 0

b) 2005x² - 2004x - 1 = 0

Lời giải:

a) Đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004

Khi đó ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0

Nên đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1

b) Đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1

Khi đó ta có: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0

Nên đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.

Bài 4 : Giải phương trình 4x² - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)² - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.

Bài 5: Giải phương trình 2x² - 7x + 3 = 0 (3)

Tính Δ = (-7)² - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:

Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x₁, x₂ vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x₁, 2.3²-7.3+3=0.