Cách tìm nghiệm của đa thức bậc 3

1. Phương  pháp tìm nghiệm của đa thức:

Phương pháp:

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0

Ngược lại nếu P(a) = 0 thì x=a là nghiệm của đa thức P(x)

Chú ý : 

+ Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, … hoặc không có nghiệm.

+ Số nghiệm của đa thức không vượt quá bậc của nó

Đa thức bậc nhất chỉ có 1 nghiệm;

Đa thức bậc hai có không quá 2 nghiệm;

Đa thức bậc ba có không quá 3 nghiệm….

Ví dụ 1:  x³ + 3x - 4

 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x² + bx + c)

  -ac = - 4     a là ước của  - 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.

Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức  đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1).

     *Cách 1: x³ + 3x - 4         = x³ - x² + 4x² -  4  = x² (x -1) + 4(x -1)(x +1)

                                              = (x - 1)(x² + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)²

     *Cách 2: x³ + 3x - 4         =x³ - 1 + 3x² - 3  = (x³- 1) + 3(x² - 1)

                                              = ( x - 1)(x² + x +1 +3(x - 1))

                                              = ( x - 1)(x² + 4x + 4)

                                              = ( x - 1)(x + 2)²

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1)

-Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1).

 Ví dụ 2:

* Đa thức: x² - 5x + 8x -  4  có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)

*Đa thức: 5x³ - 5x² + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3

 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức  chứa thừa số ( x + 1).

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng  trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.

Ví dụ 3:      2x³ - 5x² + 8x - 3

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, (), , (),()           (- 3),.....Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1)

     2x³ - 5x² + 8x - 3   = 2x³ - x² - 4x² + 2x + 6x - 3

                                = x²(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)

                                = (2x - 1)(x² - 2x + 3)

2.  Tìm hiểu về phương trình bậc 3

Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết về cách giải, chúng ta cần biết được phương trình bậc 3  là gì? Thực chất đây là một phương trình có bậc lũy thừa cao nhất là 3. Phương trình bậc ba có dạng chuẩn thường là phương trình có dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 (Với a khác 0)

3. Cách giải phương trình bậc 3

Cách 1:  Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Cách 2: Phương pháp Cardano 

Cách 3:  Phương pháp lượng giác hoá

Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos.

Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p<0 (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không có số phức.

Cách 4: Phương pháp đặt hệ số

4. Ví dụ bài tập

Ví dụ 1. Giải phương trình: 

hận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano:

Ví dụ 2. Giải phương trình: 

Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên, đó là phương pháp lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng x³ + px + q = 0 với p<0 và có 1 nghiệm thực

Ví dụ 3. Giải phương trình: x³ + 3x² + 2x - 1 = 0

Ví dụ 4. Giải phương trình: