Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác?

Cùng Top lời giải trả lời chi tiết, chính xác câu hỏi: “Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác?” và đọc thêm phần kiến thức tham khảo giúp các bạn học sinh ôn tập và tích lũy kiến thức bộ môn Đại số 11.

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác?

Để tìm được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có:

(a1.b1+ a2.b2 )2 ≤ ( a12+ a22 ).( b12+ b22 )

Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2

+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].

+ Phương trình: a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2

Kiến thức mở rộng về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số xác định trên D

2. Phân dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

- Thông thường đối với các bài giảng về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất chỉ có cơ bản vài dạng bài tập. Tuy nhiên đối với một bài viết tổng quan về chuyên đề như này thì VerbaLearn chia thành 13 dạng từ cơ bản, vận dụng cho đến vận dụng cao. Nếu các dạng bài tập quá dài bạn đọc có thể tải các tài liệu về để xem một cách dễ dàng hơn.

a. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng

* Phương pháp giải:

- Ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng)

+ Bước 2: Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên

+ Bước 4: Kết luận

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải theo các bước như sau:

Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên miền (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)

Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.

- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step (có thể làm tròn để Step đẹp).

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.

Ví dụ 1: Cho hàm số 

Khẳng định nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải: Chọn B

- Tập xác định D = ℝ

- Ta có f’(x) = -2x5 + 2x4 – x + 1 = – (x – 1)(2x4 + 1)

- Khi đó f’(x) = 0 ⇔ – (x – 1)(2x4 + 1) = 0 ⇔ x = 1

- Bảng biến thiên:

Hướng dẫn giải: Chọn C

Hàm số liên tục trên khoảng (-∞; 1)

Ta có:

Khi đó f’(x) = 0 ⇔ 8x2 – 12x – 8 = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

b. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Phương pháp giải:

- Bước 1. Tính f’(x)

- Bước 2. Tìm các điểm xi ∈ (a;b) mà tại đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định

- Bước 3. Tính f(a), f(xi), f(b)

- Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Chú ý:

* Lời giải:

3. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

Lời giải:

Ta có: y = sin² x+ 2cos²x = (sin²x+ cos²x) + cos²x = 1+ cos²x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos²x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos² x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3

Lời giải:

Ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4

Suy ra: - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1

Do đó: M= 1 và m= - 7

Câu 3: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .

Lời giải:

Với mọi x ta có: - 1 ≤ cos⁡2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12

Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là: T= [ 8 ;12]

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Gợi ý đáp án:

a. Điều kiện xác định x ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b. Điều kiện xác định x ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0