Vecto pháp tuyến là gì? Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng

Đáp án chi tiết, giải thích dễ hiểu nhất cho câu hỏi “Vecto pháp tuyến là gì? Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng” cùng với kiến thức tham khảo là tài liệu cực hay và bổ ích giúp các bạn học sinh ôn tập và tích lũy thêm kiến thức bộ môn Toán học

Trả lời câu hỏi: Vecto pháp tuyến là gì? Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng

- Khái niệm vecto pháp tuyến

Vectơ ^→n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ^→n_≠ ^→0 và ^→n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

- Nhận xét:

- Nếu ^→n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k ^→(k≠0)cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

- Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó, một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là n^→( a;b).

Một điểm M(x₀; y₀) thuộc đường thẳng d nếu: ax₀ + by₀ + c = 0.

Kiến thức mở rộng về Vecto pháp tuyến

1. Pháp tuyến là gì ?

Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc vectơ, vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ, trong hai chiều, đường pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên ngoài).

2. Vectơ pháp tuyến là gì ?

Định nghĩa: Vectơ ^→n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ^→n≠ ^→0 và ^→n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

- Nếu ^→n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k ^→n (k≠0)cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

3. Cách tìm vecto của pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết

a. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó, một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là n^→( a;b).

Một điểm M(x₀; y₀) thuộc đường thẳng d nếu: ax₀ + by₀ + c = 0.

b. Ví dụ minh họa

- Ví dụ 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?

A. n^→( 1; 1)    B. n^→(0; 1)    C. n^→(1;0)    D. n^→( 1; -1)

Lời giải

Đường phân giác của góc phần tư (II) có phương trình là x + y= 0. Đường thẳng này có VTPT là n^→( 1; 1)

Chọn A.

- Ví dụ 2. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 1.    B. 2.    C. 4.    D. Vô số.

Lời giải

Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto đó cùng phương với nhau.

Chọn D.

- Ví dụ 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x- 19y+ 2098= 0?

A. n₁^→ = (2;0).    B. n1^→ = (2;2098)    C. n₁^→ = (2; -19)    D. n₁^→ = (-19;2098)

Lời giải

Đường thẳng ax+ by+ c= 0 có VTPT là n^→( a; b) .

Do đó; đường thẳng d có VTPT n^→( 2; -19).

Chọn C.

- Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. A(3; 0)    B. B(1;2)    C. C(1;2)    D. D(2;-1)

Lời giải

Ta xét các phương án :

+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 - 2.0 + 3 = 0 vô lí

⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.

+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 - 2.2 + 3 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.

Chọn B.

- Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(- 3;0)    B. B(0;2)    C. (3;4)    D. D(1;2)

Lời giải

+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.(-3) - 3.0 + 6 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 - 3.2 + 6 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 - 3.4 + 6 = 0

⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 - 3.2 + 6 = 2 ≠ 0

⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.

Chọn D

4. Bài tập vận dụng 

 Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có A( 1; 2) ; B( 2;4). Tìm một VTPT của đường thẳng AC?

A. n^→( 1; -2)    B. n^→( 2; 4)    C. n^→(-2; 1)    D. n^→(2; 1)

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A(1; -4) và M( -2; 3) là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?

A. n^→( 1; -4)    B. n^→( 3;5)    C. n^→(3;-7)    D. n^→(5;-3)

Câu 4: Cho đường thẳng d: 2x – 5y – 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(5; 0)    B. B(0; -2)    C. C(-5; -4)    D. D(-2; 3)

Câu 5: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?

A. n₁^→( 4; 6)    B. n₂^→(-2;-3)    C. n₃^→( 4; -6)    D. n₄^→(-6;-9)

Câu 7: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x – 4y + 2018 = 0

A. n₁^→ = (1; 4).    B. n₁^→ = (4;1)    C. n₁^→ = (2;8)    D. n₁^→ = (-2;8)