Công thức tính đường trung tuyến

Câu hỏi: Công thức tính đường trung tuyến

Trả lời: 

Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối

Trong đó: + a, b, c lần lượt là các cạnh trong tam giác

                 + m_a, m_b, m_c lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

Tiếp theo đây, hãy cùng Top lời giải chúng mình đi tìm hiểu nhiều hơn về Đường trung tuyến nhé!

1. Đường trung tuyến là gì?

- Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó

- Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến

2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

- Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

- Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:

+ 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

+ Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm

+ Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

- Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

+ Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

+ Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông

- Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

+ Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

+ Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

- Ví dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

3. Bài tập 

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AC² = AM² + MC² ⇒ 17² = AM² + 8² ⇒ AM² = 17² - 8² = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 2: Cho tam giác MNP biết NP = 20cm, PM = 16cm, MN = 14cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác MNP

Hướng dẫn giải:

a = NP = 20cm, b = PM = 16cm, c = MN = 14cm

Gọi độ dài đường trung tuyến từ những đỉnh M, N, P của ∆MNP lần lượt là m_a, m_b, m_c

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác ta có:

Vì độ dài các đường trung tuyến là độ dài đoạn thẳng do đó:

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = BC.

Hướng dẫn giải

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC